Tích hợp mô-men xoắn cho vòng dòng điện tròn trong từ trường [đóng]
Tôi đang cố gắng tìm ra công thức cho Mô-men xoắn trên một vòng dòng tròn bên trong một từ trường. Tôi biết công thức là:
$\tau = IAB\sin{\theta}$
Trong đó I là dòng điện, B là từ trường và A là Diện tích.
Nỗ lực của tôi cho đến nay:
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
Bây giờ, nếu công thức cho Mô-men xoắn là: $\tau=bF\sin{\theta}$và $b = r\sin{\alpha}$, sau đó
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
Cuối cùng, nếu tôi lấy tích phân của phương trình cuối cùng này, tôi không thể hiểu chính xác cách tích phân $\sin{\alpha}^2\,ds$.
Tôi đoán rằng sự hiểu lầm cơ bản của tôi nằm ở đây: Tôi có thể biết phần tích phân của $d\vec{s}\times \vec{B}$sẽ là, vì tôi biết đường kính của hình tròn. Tuy nhiên, tôi nghĩ không có cách nào để diễn đạt$\sin{\alpha}$ đối với $ds$.
Tôi có hiểu sai không? Cảm ơn bạn
Trả lời
Bạn đã không sử dụng ký hiệu vector nên nó có vẻ khá khủng khiếp. Ngoài ra, bạn đã sử dụng$M$ cho mô-men xoắn (nó phải là $\tau$) chứ không phải cho mômen từ (thường được chấp nhận là ký hiệu).
Bằng chứng:
Một vòng tròn nằm trong $x-y$ máy bay với raduis $r$ và trung tâm tại điểm gốc $O$. Nó đang mang một dòng điện không đổi ngược chiều kim đồng hồ. Có từ trường đều$\vec B$ được hướng dẫn tích cực $x$-axis.
Xem xét một yếu tố $d\vec s$ trên sàn đấu ở một góc $\theta$ mở rộng một góc $d\theta$tại điểm gốc. Mô-men xoắn trên phần tử này được cho bởi
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
Lưu ý: Tôi đã bỏ qua phần tính toán. Ngoài ra, bạn cũng có thể lấy$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Tôi chỉ lấy $x$-component cho đơn giản. Kết quả sẽ trở lại như cũ. Giống nhau với hình dạng của dây dẫn, không quan trọng là hình vuông hay hình tròn.
Tôi đã giải quyết vấn đề này bằng cách nhận ra rằng ds thực sự là $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ theo công thức độ dài hợp âm.
Tóm lại, bằng cách thực sự viết $d\vec{s}\times \vec{B}$ về mặt $\alpha$.