Tìm góc khuyết trong tam giác
Trong tam giác dưới đây, chúng ta đang tìm giá trị của góc $φ$.
Chúng ta được cho $α=30, β=18, γ=24$ và cả điều đó $CD=BD$.
Tôi đã giải nó bằng lượng giác (định luật sin) và tìm thấy góc cần thiết là 78 nhưng tôi chỉ cần giải nó bằng Hình học.
Những gì tôi đã cố gắng cho đến nay:
Trước hết, góc là cấu tạo, có nghĩa là đối với tôi rằng phải có một giải pháp hình học. Đầu tiên tôi vẽ tam giác ABC; dễ dàng, vì chúng ta biết 2 góc của nó. Chúng tôi không quan tâm đến độ dài của các cạnh. Khi đó, với cạnh AC là đáy và góc bằng 24 độ, ta có thể vẽ tia từ điểm A.
Sau đó, kể từ $CD=BD$, tam giác DCB cân nên D phải nằm trên đường trung trực của CB, ta có thể vẽ được. Giao điểm của tia kẻ từ A và đường trung trực là điểm D.
Từ tam giác FEB ta có
góc AFD = 108.
Từ tam giác AFD,
$ADC+CDE+54+108=180$ vì thế $ADC+CDE=18$
Chúng tôi cũng có $24+ACD+ADC=180$
$ACB=132$
$132+φ+ACD=180$
$18+φ+54+ADC+2CDE=180$
Tôi luôn luôn là một phương trình ngắn.
Bất kỳ ý tưởng?
Cảm ơn rất nhiều trong dự đoán!
BIÊN TẬP:
Định luật sin trong tam giác ABD:
$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$
Định luật sin trong tam giác ACD:
$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$
vì thế
$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$
vì thế $φ=78$.
Trả lời
Xem xét một $30$-gon $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ và đặt nó trên máy bay để $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$, và đó $X_2$ và $C$ nằm trên các nửa mặt phẳng khác nhau được xác định bởi đường $AB$. Chứng tỏ$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$và $X_{15}=R$.
Xây dựng ngũ giác đều $KLOPQ$Như trong hình. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng$P\equiv C$.
Lưu ý rằng $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. Từ$QK=KL=AK$, nó theo sau rằng tam giác $AKQ$là cạnh đều. Đặc biệt,$AQ=KQ=QP$, vì thế $Q$ là vòng quanh của $AKP$. Năng suất đuổi theo góc$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$, do đó tam giác SAS $AQP$ phù hợp với $KLM$, $MNB$và theo đối xứng, nó đồng dư với $MOP$. Tiếp tục theo đuổi góc,$\angle PAQ = 6^\circ$, và cuối cùng $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.
Mặt khác, bởi sự kết hợp của $KLM$, $MNB$ và $MOP$, chúng ta có $MK=MP=MB$, vì thế $M$ là vòng quanh của $KPB$ và do đó $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$, vì thế $\angle PBM = 36^\circ$ và $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.
Từ $\angle BAP = 30^\circ$ và $\angle PBA = 18^\circ$, chúng tôi có cái đó $P\equiv C$.
Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh rằng $R\equiv D$. Trước hết, chúng tôi có$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. Thứ hai, kể từ$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$, chúng tôi có cái đó $K$, $C$, $R$thẳng hàng. Từ$M$ là vòng quanh của $CKB$, chúng ta có $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. Chúng tôi cũng có$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. Từ$\angle BCR = \angle RBC$, nó theo sau đó $R$ nằm trên đường phân giác vuông góc của $CB$, cùng với $\angle CAR = 24^\circ$ có nghĩa là $R\equiv D$. Câu trả lời như sau:$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$
Từ $\angle DAB=54^o$, nếu chúng ta xây dựng một ngũ giác đều trên $AD$, sau đó $AB$ chia đôi $\angle DAG=108^o$và $AB$ mở rộng đến $K$ trên đường tròn ngoại tiếp đi qua tâm $N$.
Mở rộng $AC$ đến $I$, $DB$ đến $L$, và tham gia $IK$, $KL$, $LA$, $IL$và $DG$.
Vì tứ giác tuần hoàn $AIKL$ có một góc vuông ở $I$, nó là một hình chữ nhật. vì thế$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$và$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$Và vì trong hình ngũ giác đều $\angle ADG=36^o$và như ghi chú OP $\angle ADE=18^o$, sau đó $\angle LDG=\angle ADC$.
