Tính giới hạn $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}$.

Question

Tôi muốn biết cách tính giới hạn $$ \lim _{n \to \infty} {\ln^{2}\left(n\right) \over n^{ 1/\ln\left(\,{\ln\left(\,{n}\,\right)}\,\right)}} $$ Tôi đã cố gắng thay đổi hình thức của nó bằng cách sử dụng $\exp\left(\,{\ln\left(\,{x}\,\right)}\,\right) = x$ và thay đổi $X = \ln(\,{x}\,)$ nhưng nó đã tính đến giới hạn của $$ \lim _{X \to \infty} \left[X^{2}\mathrm{e}^{-X/\ln\left(\,{X}\,\right)}\right] $$

Bất kỳ đề xuất ?. Cảm ơn.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \lim_{n \to \infty}{\ln\pars{n} \over n^{1/\ln\pars{\ln\pars{n}}}} & \,\,\,\stackrel{n\ \mapsto\ {\large\expo{n}}}{=}\,\,\, \lim_{n \to \infty}{n \over \expo{n/\ln\pars{n}}} \,\,\,\stackrel{n\ \mapsto\ {\large\expo{n}}}{=}\,\,\, \lim_{n \to \infty}{\expo{n} \over \exp\pars{\expo{n}/n}} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\exp\pars{n - {\expo{n} \over n}} = \bbx{\large 0} \\ \end{align}

Answer 2

Lat $$x=\log(\log(n)) \implies n=e^{e^x}$$ điều này làm cho biểu thức trở thành

$$A=\frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}=e^{2 x-\frac{e^x}{x}}$$ Hiện nay, ${2 x-\frac{e^x}{x}}<0$ càng sớm càng $$x > -2 W\left(-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) \approx 1.5$$ và ${2 x-\frac{e^x}{x}}\to -\infty$ và sau đó là giới hạn của $0$.

Answer 3

Bởi $x=\ln n \to \infty$ chúng ta có

$$\frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}} = \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{\ln x}}}= \frac{\left(\frac{x}{\ln x}\right)^3}{e^{\frac{x}{\ln x}}}\frac{(\ln x)^3}{x}\to 0\cdot 0=0$$

thực sự bởi $y=\frac{x}{\ln x}\to \infty$ cuối cùng $e^y\ge y^4$ và sau đó

$$\frac{\left(\frac{x}{\ln x}\right)^3}{e^{\frac{x}{\ln x}}}=\frac{y^3}{e^y} \le \frac{y^3}{y^4}=\frac1y \to 0$$

và bởi $\ln x=z \to \infty$

$$\frac{(\ln x)^3}{x}=\frac{z^3}{e^z}\to 0$$

Answer 4

Hãy nhìn vào mẫu số:

$$n^{\frac{1}{\ln (\ln n )}}=\mathrm e^{\frac{\ln n}{\ln (\ln n)}}$$ vì vậy chúng ta có thể viết lại phân số dưới dạng $$\frac{n^2 }{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}=\mathrm e^{2\ln(\ln n)-\tfrac{\ln n}{\ln(\ln n)}}. $$ Bây giờ hãy xem xét số mũ: as $\ln^2 u=_{\infty}o(u)$, chúng ta có $2\ln^2u-u\sim_\infty -u$, từ khi thay thế $u=\ln n$, $$-\frac{2(\ln(\ln n))^2-\ln n}{\ln(\ln n)}\sim_\infty-\frac{\ln n}{\ln(\ln n)}\to 0.$$