Tổng diện tích của hình tròn vô hạn lồng trong một tam giác đều.
Cho biết bán kính của hình tròn lớn hơn là 1, tổng diện tích của các hình tròn vô tận trong hình trên là bao nhiêu?
Tôi biết cách giải quyết một phần của vấn đề, theo các bước của trang web này .
Nhưng vấn đề là những vòng tròn còn lại. Tôi đã cố gắng tạo một số đại số bằng cách sử dụng một trường hợp đặc biệt (trong đó một trong các đường tròn là một đoạn thẳng) của định lý Descarte , nhưng tôi không tìm thấy mẫu nào để viết một chuỗi và sau đó tìm tổng.
Làm thế nào tôi có thể tìm thấy diện tích của các hình tròn còn lại, được biểu thị bằng màu đỏ trong hình dưới đây?
Trả lời
Theo lý thuyết về vòng tròn Ford , các vòng tròn chạm vào thỏa mãn$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
Trong trường hợp của bài toán đã cho, mỗi vòng tròn tiếp xúc với hai vòng tròn lớn hơn duy nhất. Nếu chúng ta chỉ tập trung vào một nhánh của tập hợp (một phần ba số vòng tròn), thì vòng tròn trung tâm có bán kính$1$ và hình tròn lớn nhất tiếp theo có bán kính $1/3$bởi sự tương đồng. Vòng tròn cảm ứng của chúng có bán kính$1/(1+\sqrt3)^2$ bằng công thức trên.
Mỗi vòng tròn có thể được biểu diễn bằng một cặp số nguyên $(m,n)$ là tổng các chỉ số của cha mẹ nó và có bán kính $r_{n,m}$ được cho bởi $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, sử dụng công thức trên. Sơ đồ sau chỉ đại diện cho một họ vòng tròn được tạo bởi họ lớn nhất$(1,0)$ và lớn nhất tiếp theo $(0,1)$. Mỗi đỉnh trong cây đại diện cho một khoảng trống giữa các vòng tròn và mỗi cạnh đại diện cho tiếp tuyến chạm vào hai vòng tròn.
$\hspace{2cm}$
Họ tiếp theo bên trái được tạo bởi $(0,1)$ và $(3,0)$ bởi vì mỗi đường tròn, có tâm nằm trên đường thẳng đi từ tâm của tam giác đến đỉnh bên trái, có bán kính $1/3^n$ (đại diện bởi $(3^{n/2},0)$ hoặc là $(0,3^{(n-1)/2})$).
Lập bảng $1/\sqrt{r_{n,m}}$ đối với họ vòng kết nối đầu tiên cho:
Gia đình 1: $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
Sau đây là một tập lệnh Mathematica để tạo các cặp này:
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(Vòng tròn trung tâm bị trừ đi.)
Một giá trị số cho diện tích của họ đầu tiên là $A_1\approx0.4550$.
Các họ còn lại tương tự như họ đầu tiên vì chúng là phiên bản thu nhỏ của chúng. Ví dụ: họ thứ hai được tạo bởi$(3,0)$ và $(0,1)$, do đó có quy mô một phần ba gia đình một (và thứ chín về diện tích).
Như vậy tổng diện tích của một chi nhánh là $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
Câu trả lời bắt buộc cho tổng diện tích là $3B+\pi$, thêm vòng tròn trung tâm. Một số gần đúng của khu vực này là$4.68$, vừa mới kết thúc $90\%$ của cả tam giác.