Trên một giới hạn liên quan đến một phép biến đổi của đa thức màu

Aug 16 2020

Tôi đã chơi xung quanh với đa thức màu (được biểu thị ở đây bằng $\chi_G(x)$) và tôi đã phỏng đoán sau đây.

Để cho $(G_n)_{n \ge 1}$ là một chuỗi các đồ thị với $v(G_n) \to \infty$ ($v(G_n)$ biểu thị số đỉnh của $G_n$) và $e(G_n) \to \infty$ ($e(G_n)$ biểu thị số cạnh của $G_n$).

Cho mỗi $x \neq 0$, chúng ta hãy xác định phép biến đổi sau đây của đa thức màu của $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$

Phỏng đoán là với mỗi số thực cố định $x \neq 0$, chúng ta có $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ như $n$ đi đến vô cùng.

Tôi đã kiểm tra phỏng đoán cho một vài chuỗi biểu đồ: ví dụ: $G_n$ là đồ thị hoàn chỉnh $K_n$, cho $G_n$ là một cái cây trên $n$ đỉnh và cho $G_n$ là một bộ sưu tập của $n$ các cạnh độc lập (khớp trên $2n$ đỉnh).

Có ai biết nếu điều này là nổi tiếng?

Tái bút: Tôi không chắc liệu các điều kiện trên $v(G_n)$$e(G_n)$là một trong những quyền. Mọi nhận xét về điều này cũng được hoan nghênh.

Trả lời

6 RichardStanley Aug 17 2020 at 01:22

Đây là một lập luận heuristic mà có lẽ ai đó có thể đưa ra một cách chặt chẽ. Tôi viết$v_n=v(G_n)$$e_n=e(G_n)$. Để cho$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ Tôi yêu cầu điều đó cho sự cố $k\geq 0$, $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ Người ta có thể chứng minh điều này bằng cách lưu ý rằng (ví dụ: Định lý Vỡ mạch, cho thấy rằng $c_{n,v_n-k}$ tăng lên khi chúng tôi thêm nhiều cạnh hơn vào $G_n$) $c_{n,v_n-k}$ được giới hạn bên dưới bởi giá trị của nó khi $G_n$ là một cây và được giới hạn ở trên bởi giá trị của nó khi $G_n$là một đồ thị hoàn chỉnh. Kết quả được xác nhận có thể dễ dàng xác minh đối với cây và đồ thị hoàn chỉnh (trong trường hợp thứ hai, sử dụng tiệm cận đã biết cho các số Stirling của loại đầu tiên). Có lẽ có một bằng chứng trực tiếp hơn, nhưng trong mọi trường hợp, nếu chúng ta không lo lắng về việc biện minh cho các giới hạn và tổng số hoán đổi cho nhau, chúng ta sẽ$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$