Vai trò của tính đơn điệu trong chuỗi biến thiên có giới hạn.

Question

Nhớ lại rằng; Một chu kỳ$\left\{x_{n}\right\}$ của số thực được cho là biến thể có giới hạn nếu các số $$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$ Hội tụ.

Chúng ta biết rằng chuỗi hội tụ không cần phải là một chuỗi biến thiên có giới hạn bằng cách lấy $x_n=\frac{1}{n}$ cho dù $n$ và $0$ cho kỳ quặc $n$. Nhưng những gì về trình tự hội tụ đơn điệu? Chúng có phải là chuỗi biến thể có giới hạn không? Nếu vậy, làm thế nào để chứng minh điều đó?

Answer 1

Gợi ý: Nếu $\{x_n\}$ đang tăng,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$