Vectơ phụ thuộc affinely (in) như thế nào trong $\mathbb R^n$ sắp xếp trong không gian?

Question

Xét một tập vectơ hữu hạn $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Tập hợp này độc lập tuyến tính nếu $\sum_k \alpha_k v_k=0$ ngụ ý $\alpha_k=0$. Về mặt hình học, tôi hiểu sự phụ thuộc tuyến tính khi nói rằng một tập các vectơ được chứa trong một siêu phẳng đi qua gốc tọa độ.

Mặt khác, chúng tôi nói rằng $\{v_i\}_i$là affinely phụ thuộc nếu$\sum_k \alpha_k v_k=0$ cho $\alpha_k$không phải tất cả không và như vậy$\sum_k\alpha_k=0$. Có trực giác hình học tương tự để hình dung khi một tập hợp$\{v_i\}_i$ có phụ thuộc / độc lập không?

Answer 1

Đặc điểm của bạn về sự phụ thuộc tuyến tính (vào) không hoàn toàn đúng. Mọi tập hợp vectơ được chứa trong một số loại siêu phẳng thông qua gốc, cụ thể là khoảng của nó.

Thay vào đó, tôi sẽ nói rằng một tập hữu hạn các vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu chúng nằm trong một siêu phẳng thông qua gốc có số chiều nhỏ hơn số vectơ trong tập hợp đó.

Và trong một mạch tương tự, một tập hợp hữu hạn các điểm trong $\mathbb R^n$phụ thuộc rõ ràng nếu nó nằm trong một siêu phẳng có kích thước nhỏ hơn số điểm trong tập hợp trừ đi 1 . Như vậy, 3 điểm khác nhau trên một đường thẳng phụ thuộc nhau, nhưng 2 điểm khác nhau trên một đường thẳng độc lập.

Có một bức tranh hình học tuyệt đẹp khác về tính độc lập của affine:

• một cặp điểm độc lập rõ ràng nếu nó là tập hợp điểm cuối của một đoạn thẳng (xảy ra khi và chỉ khi hai điểm trong cặp đó không bằng nhau)
• một bộ ba điểm là hoàn toàn độc lập nếu nó là tập đỉnh của một tam giác
• một phần tư điểm là độc lập hoàn toàn nếu nó là tập đỉnh của một tứ diện
• a $k$-tổng điểm là độc lập hoàn toàn nếu nó là tập đỉnh của một $k-1$chiều đơn giản .

Answer 2

Như @ runway44 đã nói, phụ thuộc tình cảm có nghĩa là "tất cả chúng đều ở trong siêu phẳng", mặc dù có thể là một siêu phẳng không chứa nguồn gốc. Để xem nhanh điều này, hãy$k+1$ vectơ $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ với $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ và trừ đi $v_0$ từ mỗi $v_1, \ldots, v_k$ để có được $w_1, \ldots, w_k$.

Sau đó, các vectơ $w_k$đều nằm trên một siêu phẳng song song qua gốc tọa độ. (Thật đáng làm đại số để tự thiết lập điều này).

Hoặc, đặt nó ở dạng cổ điển hơn, nếu chúng ta lấy $v_0$ là điểm gốc của một hệ tọa độ mới, thì phần còn lại $v_i$ các vectơ đều nằm trong một siêu phẳng.