Ví dụ cơ bản cho dạng không xác định $1^\infty$
Tôi đang nói chuyện toán học với một học sinh trung học thông minh, người thậm chí còn chưa nhìn thấy logarit trong lớp. (Chúng tôi đã giới thiệu thành công nhật ký dưới dạng nghịch đảo của lũy thừa.) Cô ấy bị hấp dẫn bởi video này và các dạng không xác định. Chúng tôi đã thảo luận về cách "$1^\infty$"thực sự giống như"$0/0$".
Bây giờ tôi muốn thảo luận về một ví dụ về "$1^\infty$". Thật không may, mỗi ví dụ tôi có thể đưa ra, và tất cả mọi thứ tôi thấy trên internet, sử dụng mà$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ như $t\to 0$, đó là " một sự thật nổi tiếng ", hoặc một ứng dụng của quy tắc L'Hospital - cả hai điều này tôi đều thấy không thỏa đáng.
Có một ví dụ không tầm thường cho "$1^\infty$"dạng không xác định (vì vậy, không chỉ $1^t$ cho $t\to\infty$) có thể được phân tích chỉ bằng cách sử dụng định nghĩa của lôgarit như là một hàm ngược thành lũy thừa, mà không có phép tính hay dữ kiện tôi sẽ cần phải rút ra khỏi một cái mũ?
Trả lời
Ai có thể quên ví dụ cổ điển:
$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?
Nếu chúng ta mở rộng $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ với Định lý Nhị thức và so sánh các số hạng với lũy thừa tương ứng của $1/n$ cho các giá trị khác nhau của $n$, chúng tôi thấy rằng chức năng này tăng lên khi $n$ tăng mà không bị ràng buộc, nhưng hàm bị giới hạn bởi chuỗi hội tụ
$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$
Vì vậy, giới hạn được đảm bảo là exis và do đó có thể xác định là $e$, từ đó quy tắc $[\ln(1+x)]/x\to1$ như $x\to 0$ theo sau.
Tại sao không chỉ sửa chữa $k>0$ (ví dụ $k=2$) và nhìn vào $(k^{1/n})^n$?
Trực giác khá rõ ràng rằng $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ như $n\to\infty$; mặt khác, rõ ràng$n\to\infty$ khi nào $n\to\infty$. Như vậy, bạn có trường hợp$1^\infty$ mà thực sự hội tụ với $k$ (và không chỉ hội tụ với $k$nhưng là hằng số ), mà bạn đã chọn tùy ý để bắt đầu.
Giờ đây, điều này dễ dàng mở rộng với $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ hoặc là $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, hội tụ với $0$ và $\infty$ (theo một số thứ tự, miễn là $k\ne 1$).
Chúng ta tìm kiếm $f,\,g$ với $f\to1,\,g\to\infty$, nói như $x\to0$, vậy nên $f^g$ có thể có bất kỳ giới hạn nào $L\in[0,\,\infty]$hoặc không. Ví dụ:
- $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ cho $L>1$
- $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ cho $L\in(0,\,1)$
- $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ cho $L=1$
- $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ cho $L=0$
- $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ cho $L=\infty$
- $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ cho $\lim_{x\to0}f^g$ không được xác định.
Sự thay thế $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ trình diễn $1^{-\infty}$ hoạt động theo cùng một cách, nhưng không ai liệt kê riêng.