Xác định tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện - $|z|=2$ $\space$ và $\space$ Tôi $(z^6)=8$ Tôi $(z^3)$

Question

Xác định tất cả các số phức $z$ đáp ứng các điều kiện sau:

$|z|=2$ $\space$ và $\space$ Tôi$(z^6)=8$ Tôi$(z^3)$

Lần đầu tiên tôi tính toán $z^3$ và $z^6$.

$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$

$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$

$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$

Sau đó, tôi đặt các phần ảo trong phương trình Im$(z^6)=8$ Tôi$(z^3)$ và đã theo dõi

$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$

$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)

$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)

từ $|z|=2$ theo sau $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (2)

sau khi đặt (2) vào (1) tôi đã nhận được

$x^3-3x=1$

và sau đó $x=2\cos\varphi$

phương trình $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ có thể được chuyển thành

$2\cos3\varphi=1$(Tôi nhận được điều này với sự trợ giúp của danh tính của$\cos {3x}$)

và sau đó

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$

$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$, $\space$ $k \in \mathbb{Z}$

Viết giải pháp khác là

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$

Phù hợp với (*) khám phá $3x^2-y^2$được vạch ra. Chúng tôi phải bao gồm

$3x^2-y^2=0$

$3x^2-(4-x^2)=0$

$4x^2=4$

$x^2=1$

$(2\cos\varphi)^2=1$

$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$

Sau khi giải phương trình này, chúng ta nhận được

$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

Giải pháp từ sách giáo khoa của tôi:

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.

Ai đó có thể giúp tôi tìm ra một sai lầm?

Nếu bạn thấy sai sót, vui lòng chỉnh sửa. Trên hình dưới đây là tất cả 10 giải pháp.

Answer 1

Nó ngắn hơn để giải với dạng mũ của $z$: vì mô đun của nó là $2$, chúng tôi có thể viết $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. và phương trình trên phần ảo trở thành$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ khi đó phương trình lượng giác tiêu chuẩn đơn giản này $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Các giải pháp của nó là$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ Một dạng ngắn gọn của các giải pháp trong $\theta$ sẽ là $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$

Answer 2

Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giảm các phương trình thành $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$

Từ điều này, chúng ta có thể nói rằng khi $z=\omega_i$ (Ở đâu $\omega_i$ là các nghiệm nguyên của lập phương), đẳng thức chắc chắn sẽ đúng.

Sau đó, sử dụng các khai triển đa thức cho $z^6 $ và $z^3$ đang cân nhắc $z=x+i y$ cái nào đang giải quyết hiệu quả $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ với điều kiện rằng $$x^2+y^2=1$$ là một vòng tròn đơn vị.

Bạn có thể truy cập đồ thị sau đây tại đây

Các giao điểm của biểu đồ màu đen với vòng tròn màu đỏ và các điểm màu xanh lam có nhãn tọa độ là các giải pháp bắt buộc.