Biểu thức cho độ cong bên ngoài
Trong cuốn sách Cơ sở hấp dẫn và biên giới của Padmanabhan, phương trình sau đây có thể liên quan đến độ cong bên ngoài của siêu bề mặt có thể được tìm thấy trong phần 12.2 (xem ngay phương trình 12.19 ở trên trong cuốn sách đó),
\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}
Theo quy ước của cuốn sách, các chỉ số Hy Lạp chạy cho các tọa độ không gian ($\alpha=1,2,3$) và các chỉ số latin chạy cho các tọa độ không-thời gian ($a=0,1,2,3$). Do đó, phương trình trên đưa ra một biểu thức cho các thành phần không gian của độ cong bên ngoài,$K_{\alpha\beta}$. Đây,$n^a$ là trường vectơ pháp tuyến đối với siêu bề mặt và $N$là chức năng mất hiệu lực. Bây giờ cuốn sách tuyên bố nếu chúng ta mở rộng biểu tượng Christoffel, chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau (xem phương trình 12.19 trong cuốn sách),
$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$
Đây, $N^\alpha$ là vectơ dịch chuyển, $h_{\alpha\beta}$ là số liệu không gian được tạo ra trên siêu bề mặt và $D_m$ là đạo hàm hiệp phương sai nội tại trên siêu bề mặt với tác động của nó lên các vectơ không gian thuần túy $X_s$, thỏa mãn một hạn chế như $X_sn^s=0$, định nghĩa là
$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$
Ở đâu, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ là lực căng hình chiếu trên siêu bề mặt, và $\nabla_a$ là đạo hàm hiệp phương sai thông thường cho không thời gian.
Tôi đã không tìm được phương trình 12.19 đưa ra biểu thức cho $K_{\alpha\beta}$. Dưới đây tôi chỉ ra, cách tôi đã cố gắng thực hiện. Biểu tượng Christoffel có thể được mở rộng thành,\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Trong phần trên, tôi đã sử dụng các dữ kiện rằng, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$
Trả lời
Tính toán của OP có vẻ ổn. Nếu chúng ta tiếp tục theo dòng đó, biểu thức yêu cầu có thể đạt được khá dễ dàng. Đầu tiên, tôi lưu ý rằng,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Có lẽ sự thay thế này là điều gây nhầm lẫn trong tính toán của OP. Nếu chúng tôi sửa điều đó thì nó sẽ theo sau,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Vì thế, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$
- Độ cong bên ngoài được xác định trong không thời gian xung quanh (chứ không phải trên siêu bề mặt) như $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ với $P_\perp$độ căng hình chiếu trên siêu bề mặt. Lưu ý rằng bằng cách xây dựng, độ cong bên ngoài là không gian và đối xứng trong hai chỉ số của nó.
- Sử dụng đối xứng để viết $K_{ab}$ như một đạo hàm Lie:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
- Sử dụng phép phân hủy trực giao của hệ mét và hệ tọa độ đã điều chỉnh $t^a = Nn^a + N^a$ để hàm trôi đi và vectơ dịch chuyển đến $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$
Người giới thiệu:
- T. Thiemann, Giới thiệu về Thuyết tương đối rộng lượng tử hình nón hiện đại , tiểu mục I.1.1