Bộ Borel so với Bộ Baire

Aug 16 2020

(1) Giả sử rằng tôi có một không gian Hausdorff nhỏ gọn $X$với một cơ số đếm được. Tại sao lại là đại số Borel$\mathcal{B}(X)$ (các $\sigma$-trường được tạo bởi các tập hợp mở) và đại số Baire $\mathcal{B}a(X)$ (các $\sigma$-field được tạo bởi tập tin nén $G_\delta$bộ) bằng nhau? Tôi có thể tìm bằng chứng về điều này ở đâu?

(2) Giả sử bây giờ $X$có một cơ sở không đếm được. Trong trường hợp đó,$\mathcal{B}(X)$$\mathcal{B}a(X)$không còn trùng hợp nữa, và tôi biết rằng việc xem xét các bộ Baire sẽ tránh được một số bệnh lý của bộ Borel. Những bệnh lý đó là gì? Ngoài ra, ví dụ về bộ Borel không phải là Baire là gì?

Trả lời

3 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 11:02

Để xem trong trường hợp đầu tiên bộ Baire và bộ Borel trùng nhau, cần lưu ý rằng các bộ tạo cho bộ Baire (tóm tắt $G_\delta$) luôn là Borel (nhỏ gọn ngụ ý đóng trong không gian Hausdorff) để Baire $\subseteq$Borel dễ dàng. Và nếu$O$ mở, chúng ta có thể viết nó như một liên hiệp có thể đếm được của compact $G_\delta$ các bộ, vì vậy tất cả các bộ mở đều nằm trong Baire $\sigma$-field, vậy tất cả các bộ Borel cũng vậy. (Nhỏ gọn Hausdorff đếm được thứ hai ngụ ý hoàn toàn bình thường, v.v.)

Để xem điều gì có thể xảy ra sai sót một cách tổng quát hơn, hãy xem $X=\omega_1 + 1$là Hausdorff nhỏ gọn nhưng không thể đếm được thứ hai. Trong đó,$\{\omega_1\}$ là đóng (vì vậy Borel) nhưng không phải Baire (Halmos chứng minh trong Lý thuyết đo lường của mình rằng một tập hợp nhỏ gọn là Baire nếu nó là $G_\delta$và singleton này thì không). Biện pháp Dieudonné trên$X$là thước đo Borel đó không phải là bình thường, nhưng bình thường khi chúng tôi làm việc trên bộ Baire. Xem cuốn sách của Halmos, hoặc công trình mở rộng của Fremlin về lý thuyết đo tôpô. Lấy bộ Baire cung cấp cho chúng tôi nhiều bộ hơn đủ để thực hiện công cụ tích hợp, v.v. và cung cấp các biện pháp hoạt động tốt hơn về các thuộc tính thường xuyên.