Các ràng buộc theo đó $\rho(x, y) = |x - y|^d$ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Aug 15 2020

Có thể chứng minh bằng các phương tiện đại số thuần túy không (mà không cần dùng đến các ví dụ phản bác ngay lập tức) rằng $\rho(x, y) = |x - y|^d$ không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ cho $d = 2$? Và dưới những ràng buộc nào về$x, y, z$nó có thỏa mãn bất đẳng thức không? Tôi đang cố gắng xem tại sao$\rho$ không thể là một số liệu hợp lệ trên $\mathbb R$.

Câu hỏi bổ sung: Đối với những giá trị nào khác $d \in \mathbb R$ làm $\rho$ không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Trả lời

3 KaviRamaMurthy Aug 15 2020 at 16:39

Sự bất bình đẳng tương đương với $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ cho $a, b \geq 0$. Đặt$a=b=1$ chúng ta thấy rằng $2^{d} \leq 2$. Vì thế$d \leq 1$là điều kiện cần. Bất cứ gì$d \in (0,1]$bất đẳng thức là hợp lệ. Điều này có thể được chứng minh bằng cách quan sát rằng$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ đang giảm chức năng của $a$ và biến mất khi $a=0$.

Khi nào $d<0$, $|x-y|^{d}$ thậm chí không được xác định khi $x=y$ vì vậy nó không mang lại một số liệu. $d=0$ là để lại cho bạn.