Cách tính sản phẩm cốc của các giới hạn dẫn xuất / cohomology đặt trước

Jan 11 2021

Tôi có một danh mục hữu hạn $\mathcal{C}$, cùng với một người chơi $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Nếu$F_j$$j$-mặt phân loại của $F$, sau đó tôi viết $H^i(\mathcal{C},F_j)$ cho $i$-giới hạn nghịch đảo bắt nguồn từ sơ đồ $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$của các nhóm abel. Tương tự, nó là$i$-th cohomology sheaf của sheaf $F_j$, nơi tôi quan tâm $\mathcal{C}$ như trang web có cấu trúc liên kết Grothendieck tầm thường.

Tôi đã tính toán các $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Lắp ráp chúng cần có cấu trúc sản phẩm cốc$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Tôi muốn tính toán cấu trúc sản phẩm này.

Phương pháp duy nhất tôi biết là thông qua cohomology sheaf, liên quan đến độ phân giải rõ ràng, sản phẩm tensor và tổng số phức hợp (xem [1]). Rất tiếc, tôi không có giải pháp rõ ràng về$F$ hoặc là $F \otimes F$: nó có vẻ quá phức tạp để làm bằng tay, đặc biệt là vì $F(c)$thường được tạo vô hạn. (Theo tính toán của tôi về$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Tôi đã phá vỡ điều này bằng cách sử dụng các chuỗi quang phổ nhưng chúng che khuất cấu trúc sản phẩm.)

Tôi dẫn đến những câu hỏi sau:

  • Có ai biết về một phương pháp hiệu quả hơn để tính toán các sản phẩm cốc của cohomology / giới hạn dẫn xuất trước?
  • Nếu không, có phần mềm máy tính nào có thể đảm nhận một số nhiệm vụ nêu trên không?

[1]: RD Swan. Sản phẩm cốc trong cohomology sheaf, chất dẫn tinh khiết, và một chất thay thế cho độ phân giải xạ ảnh.

Trả lời

1 DmitriPavlov Jan 12 2021 at 02:06

Các sản phẩm cốc trong cohomology sheaf (và presheaf) thường dễ tính toán bằng cách phân giải nguồn (chẳng hạn như trong cấu trúc mô hình xạ ảnh) chứ không phải mục tiêu. Để biết ví dụ về giải quyết nguồn theo cách này, hãy xem Sản phẩm ghép nối, siêu âm và cốc của Yoneda

Trong trường hợp đang xem xét, người ta có thể trang bị cho loại cấu trúc mô hình xạ ảnh trước của chuỗi phức hợp trên C với cấu trúc mô hình xạ ảnh. Cái sau có một hàm thay thế cofibrant rõ ràng, có thể được sử dụng để viết ra một giải pháp xạ ảnh rõ ràng. Bộ điều khiển thay thế cofibrant chính xác là cấu trúc thanh cổ điển được áp dụng cho đoạn nối giữa các phức hợp chuỗi trên C và Ob (C) được lập chỉ mục của phức chuỗi.