Cho một phương trình độ cong, làm thế nào để tìm họ phương trình tham số phù hợp?
Tôi đã xem một số câu hỏi và câu trả lời ở đây cho các trường hợp đặc biệt về việc tìm phương trình tham số cho một độ cong nhất định. Ví dụ; Tìm phương trình tham số của một đường cong có độ cong cho trước . Tuy nhiên tôi e rằng tôi không hiểu quy trình chung. Ai đó có thể hướng dẫn tôi qua quá trình này không?
Tôi quan tâm đến các phương trình tham số dạng
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Do đó có độ cong ký
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Câu hỏi của tôi là
Đưa ra phương trình cho $\kappa(s)$, làm thế nào để bạn tìm thấy họ các giải pháp cho $\gamma(s)$?
Tôi cho rằng có một đường cong duy nhất đáp ứng $\kappa(s)$, mặc dù giải pháp cuối cùng sẽ có ba hằng số, $x_0$, $y_0$và $\theta$, sẽ mã hóa một phép tịnh tiến và xoay tùy ý (hoặc một số điểm tương đương) của đường cong đó, vì theo trực giác, độ cong không quan tâm đến sự dịch hoặc quay của toàn bộ đường cong.
Lưu ý cuối cùng, tôi chỉ đơn giản là một sinh viên chưa tối ưu quá mức, và như vậy, tôi chỉ học về mặt học thuật với các phương trình vi phân bậc nhất và chỉ có độ cong tự học. Bất kể, tôi hiểu khái niệm về từng thứ. Vì vậy, tôi đánh giá cao một câu trả lời gần đúng với mức độ hiểu biết của tôi.
Trả lời
Không chỉ có sự quay và tịnh tiến tùy ý mà còn có sự phản chiếu và tham số của đường cong. Vì vậy, trước hết, hãy lấy tham số độ dài cung tiêu chuẩn, trong đó định nghĩa độ cong trở thành$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ Ở đâu $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ là vectơ tiếp tuyến và $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$là vectơ pháp tuyến. Dấu hiệu sau chỉ được xác định cho đến một dấu hiệu, vì vậy người ta phải chọn một trong số chúng một cách tùy ý. Điều này sửa chữa độ thuận tay của đường cong, tức là độ phản chiếu.
Do đó phương trình vi phân cần giải là $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Là một phương trình bậc hai, điều này phải cung cấp bốn hằng số tích hợp, nhưng có hạn chế về độ dài $(x')^2+(y')^2=1$, vì vậy trên thực tế chỉ còn lại ba hằng số: hai cho phép tịnh tiến và một cho phép quay.
Như tôi đã nói "Tôi chỉ giải quyết về mặt học thuật với phương trình vi phân bậc nhất" , vì vậy câu trả lời này cho câu hỏi của riêng tôi có thể còn nhiều sai sót, nhưng đây (tôi tin) là dạng tổng quát mà tôi đang tìm kiếm. Rất cám ơn Chrystomath về cái nhìn sâu sắc.
Nếu $(x')^2+(y')^2=1$, sau đó
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Cũng thế, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Để cho $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Với logic tương tự, sau
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Do đó, phương trình tham số có thể được tìm thấy (hoán đổi theo quy ước $\sin$ và $\cos$) được
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Hãy xem và này, như lời tiên tri của Chrystomath: ba hằng số (hai hằng số để dịch và một hằng số để quay), và những phản xạ (được biểu thị bằng $\pm$)!