Định nghĩa chung hơn về nguồn và phần chìm cho trường vectơ
Theo như tôi có thể nói định nghĩa của một nguồn và một bồn rửa tương ứng được đưa ra dưới dạng toán tử phân kỳ.
Đó là, đã cho một trường vectơ $\vec{D}$, nó có một nguồn tại điểm$P$ nếu sự phân kỳ của nó $\text{div}\vec{D}$ là pozitive trong $P$hoặc một bồn rửa nếu nó âm. Ví dụ, trong điện từ học, người ta nói$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ Ở đâu $\rho_v$ là mật độ điện tích thể tích và $\vec{D}$ là mật độ từ thông.
Nhưng hãy nói $\vec{D}$ được cho bởi một điện tích điểm dương $q$ Đặt vị trí tại $(0,0,0)$ cái tạo ra trường
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
Ở đâu $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
Trong trường hợp này, $\text{div}\vec{D}=0$ ở khắp mọi nơi, tuy nhiên nguồn gốc là một loại nguồn khi trường "xuất hiện" từ đó và thông lượng thực trên mỗi bề mặt bao quanh điện tích là dương.
Câu hỏi của tôi là: có bất kỳ định nghĩa nào khác về nguồn và chìm không? Có thể một số trường hợp chung chung hơn một chút và bao gồm các trường hợp cụ thể hơn như trường hợp tôi đã đề cập lần trước?
Trả lời
Tôi nghĩ rằng một khái quát trực quan đến từ định lý phân kỳ! Cụ thể, nếu chúng ta biết rằng một trường vectơ có phân kỳ dương trong một vùng nào đó, thì tích phân trên bề mặt của bất kỳ quả bóng nào xung quanh vùng đó sẽ là dương. Điều đó bao gồm ví dụ của bạn, bởi vì theo cách đó, chúng ta không bao giờ cần phải xem xét điểm kỳ dị ở$x = 0$, chúng ta chỉ nhìn vào những quả bóng xung quanh điểm kỳ dị đó!
Biểu thị bởi $B_r(p)$ quả cầu bán kính mở $r > 0$ xung quanh $p$và biểu thị bằng $\partial B_r(p)$ bề mặt ranh giới của nó.
Để cho $U \subset \mathbb{R}^n$ là một tập hợp mở, và $p \in \mathbb{R}^n$ một điểm để có một $\epsilon > 0$ để những quả cầu $\partial B_r(p)$ được chứa trong $U$ cho tất cả $r < \epsilon$.
Cho một trường vectơ liên tục $X : U \to \mathbb{R^n}$, chúng tôi nói rằng một điểm $p \in U$ Là...
- ... một nguồn cho$X$ nếu có một $\epsilon > 0$ vậy nên $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... một bồn rửa cho$X$ là nếu có một $\epsilon > 0$ vậy nên $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
Nếu trường vectơ của bạn có thể được mở rộng để trơn tru trong toàn bộ nội thất $B_r(p)$ của những quả cầu $S_r(p)$thì định lý phân kỳ cho chúng ta biết
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
và sau đó định nghĩa của bạn ngụ ý điều này, bởi vì nếu $\text{div} X(p) > 0$ trong một điểm duy nhất, thì bằng các đối số liên tục, sẽ có toàn bộ $B_r(p)$ trên đó $\text{div} X > 0$.
Bạn sẽ thấy rằng ví dụ của bạn hoàn toàn phù hợp với định nghĩa này và bạn có thể rất dễ dàng tính tích phân trên các quả bóng xung quanh số 0, và tất cả chúng đều sẽ dương, mặc dù bạn không bao giờ có thể chạm vào điểm 0.
Tôi không trích dẫn từ bất kỳ sách giáo khoa nào, vì vậy hãy cẩn thận, đây chỉ là ý kiến của riêng tôi về một sự khái quát hợp lý :)
CHỈNH SỬA: Một giải pháp thay thế là thay đổi định nghĩa của sự phân kỳ, nhưng vẫn sử dụng ý tưởng tích phân các quả bóng xung quanh các điểm, Xem ví dụ trong câu hỏi và câu trả lời này.
Trong trường hợp trường vectơ là tích phân, bạn có thể đưa ra một định nghĩa tôpô hơn nhiều.
Để cho $\vec{D}$ là một trường vectơ có thể tích hợp và $d$từ thông của nó. Để cho$p$ như vậy mà $\vec{D}(p)=0$.
$p$ là một $\textit{sink}$ tôi có tồn tại một tập hợp mở $U$ chứa đựng $p$ như vậy mà $\overline{d(U)} \subset U$.
$p$ là một $\textit{source}$ tôi có tồn tại một tập hợp mở $U$ chứa đựng $p$ như vậy mà $\overline{U} \subset {d(U)} $.