Giải pháp ngoại lai từ việc thay thế trong phương trình
Tôi đã xem qua ví dụ này về cách bạn có thể kết thúc với một giải pháp không liên quan nhưng tôi đã tự hỏi làm thế nào nó phát sinh. Chúng ta có phương trình:$$x^2+x+1=0 $$ Vì x = 0 không thỏa mãn phương trình, bạn có thể chia cho x trên cả hai vế, kết quả là: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$tương đương với phương trình đầu tiên của chúng tôi. Từ nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi, chúng tôi có thể kết luận rằng:$$-x^2=x+1$$ Bây giờ chúng ta thay thế nó vào phương trình thứ hai để nhận được:$$x^2=\frac{1}{x}$$ kết quả là $$x^3=1$$tương đương với phương trình trước đó của chúng ta vì x không thể bằng 0. Tuy nhiên, một nghiệm từ phương trình cuối cùng của chúng ta là x = 1, đây không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Tôi có một ý tưởng mơ hồ rằng nó có thể liên quan đến thực tế là bạn nhận được một phương trình bậc ba và bạn bắt đầu với một bậc hai, và các bước đó ngụ ý như sau chứ không phải ngược lại, nhưng bạn có thể cung cấp một câu trả lời rất chi tiết về lý do tại sao nó phát sinh? Bạn có thể vui lòng cung cấp thêm ví dụ?
Trả lời
Nếu chúng tôi gọi $A(x)=x^2+x+1$ và $B(x)=x+1+\frac1x$, chúng tôi có thể phân tích các đoạn văn của bạn như sau: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
Trong khi để bảo toàn tính tương đương, bạn nên giữ $A(x)=0$ trong $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
Sự thay thế này ($x+1=-x^2$) khai triển một tập nghiệm của phương trình
bởi vì $-x^2$ cũng phụ thuộc vào $x$.
Bạn có thể thay thế $x+1=y$, ví dụ.
Thêm ví dụ, khi một sự thay thế tương tự đưa ra các vấn đề tương tự.
Hãy để chúng tôi giải quyết $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
Chúng tôi đạt được: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ hoặc là $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Bây giờ, kể từ $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ mà có thể gặp điều gì đó xấu, chúng tôi thu được: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ hoặc là $$x(440x^2+630x+189)=0$$ và chúng tôi có một trong những lựa chọn $x=0$.
Dễ dàng thấy rằng $0$ không phải là một căn của phương trình bắt đầu và nó đã xảy ra
bởi vì chúng tôi đã sử dụng một sự thay thế không đúng $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem tất cả các nghiệm của phương trình $440x^2+630x+189=0$ là gốc của phương trình bắt đầu, điều này không dễ dàng như vậy.
Nếu chúng ta muốn tránh những vấn đề này, vì vậy chúng ta cần sử dụng danh tính sau. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
Tất cả các phép biến đổi của một phương trình phải có thể đảo ngược. Với$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ Ổn.
Nhưng kết hợp hai phương trình trong một $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ không phải.