Giải thích ý nghĩa của việc một đa thức bất khả quy trên F

Aug 15 2020

Gọi F là một trường và gọi F [x] là vành các đa thức trong một x không xác định với các hệ số trong F. Giải thích ý nghĩa của đa thức g (x) trong F [x] là bất khả quy trên F.

Tôi đang nghĩ như thế này (rất quan trọng để làm đúng):

Có nghĩa là đa thức bậc n> = 1 với các hệ số trong Trường F được cho là bất khả quy trên F nếu nó không thể được viết dưới dạng tích của hai đa thức không hằng số trên F bậc nhỏ hơn n.

Đủ để làm cho nó chính xác? Hoặc có thể thêm một dòng về tất cả chúng đều là số nguyên tố?

Trả lời

DavidA.Craven Aug 16 2020 at 03:38

Bạn không cần phải nói rằng nó có một thừa số thành các số nguyên tố với ít nhất hai thừa số, nhưng nó tương đương với các vành đa thức.

Trong một vòng nói chung, một phần tử $r$không thể thay đổi nếu, bất cứ khi nào nó được viết là$r=ab$, chính xác là một trong số $a$$b$là không thể đảo ngược. Viết$r\mid a$ nếu có $b$ như vậy mà $r=ab$, một cách khác để nói điều này là $r$ không thể thay đổi nếu, khi nào $a\mid r$, $r\mid a$.

Điều này khác với số nguyên tố, đó là: $r$nguyên tố nếu$r$ không phải là không thể đảo ngược và bất cứ khi nào $r\mid ab$, $r\mid a$ hoặc là $r\mid b$.

Trong một miền tích phân (với sự thống nhất) $R$, mọi số nguyên tố là bất khả quy, nhưng không phải mọi nhu cầu bất khả quy đều là nguyên tố. Để thấy rằng mọi số nguyên tố là bất khả quy, giả sử rằng$r$ là nguyên tố và $r=ab$. Từ$r=ab$, chắc chắn $r\mid ab$. Như vậy$r\mid a$ hoặc là $r\mid b$, mà không mất tính tổng quát $r\mid a$. Như vậy$a=rs$ cho một số $s$, và như vậy $$ r=ab=rsb.$$ Từ $R$ là một miền tích phân và $r(1-sb)=0$, chúng ta thấy rằng $sb=1$. Đặc biệt,$b$ là không thể đảo ngược, do đó $r$ là không thể thay đổi được.

Các vòng trong đó mọi bất khả quy là số nguyên tố là các miền thừa số hóa duy nhất , hoặc UFD. Điều này tương đương với tuyên bố rằng mọi phần tử$r\in R$có một thừa số thành các thừa số, , các thừa số xuất hiện trong phép phân tích thừa số này là duy nhất để sắp xếp lại và nhân với các phần tử khả nghịch.

Các vòng đa thức (trong nhiều biến có thể xảy ra) trên các trường là ví dụ của UFD, vì vậy đối với các vòng đa thức, có nhiều định nghĩa tiềm năng về bất khả quy.