Hyperconcise Math D5: Số phức

Tọa độ cực (r, θ) = (độ lớn, góc ngược chiều kim đồng hồ với Descartes (1, 0)) có thể được sử dụng để theo dõi các góc giữa một số vectơ trong không gian hai chiều. Chúng liên quan đến tọa độ Descartes (x, y) thông qua các phương trình x = r⦁cos(θ) và y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) đề cập đến điểm (r, θ + τ/2 ), và nếu k là số nguyên bất kỳ thì (r, θ + k⦁τ) quy về điểm (r, θ)). Giải cho r và θ, r² = x² + y² và

Ví dụ,

Nhân một số (vectơ 1 chiều) với −1 sẽ làm quay nó τ/2 radian quanh 0 (trong không gian 1 chiều). Người ta có thể định nghĩa một loại số mới (i) sao cho phép nhân một số với i sẽ làm quay số đó τ/4 radian quanh 0 (trong mặt phẳng phức); bất kỳ số nào ở dạng x + i⦁y, trong đó cả x và y đều là số thực (bất kỳ số nào có thể được định nghĩa là giới hạn của một biểu thức thập phân) và i² = −1 được gọi là số phức. Mặt phẳng phức là không gian 2 chiều chứa mọi số phức.

Nếu z là bất kỳ số phức nào (e là hằng số được xác định bằng phép tính),

Ví dụ,

Khi sử dụng tính chất của các “hàm” nghịch đảo với số phức, bạn không còn có thể bỏ qua các nhánh khác:

Định lý cơ bản của đại số: Nếu mỗi aₖ và bₖ là một số phức không phụ thuộc vào z (một số có thể bằng nhau) thì