Khi nào thì có thể sử dụng danh tính Parseval-Plancherel để giải tích phân?

Question

Tích phân có dạng $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Trong đó biến đổi Fourier của$\sigma$ chức năng là $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ và chức năng $\mu(x)$ được đưa ra bởi $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

Biến đổi Fourier của $\mu(x)$ có thể được tìm thấy khá dễ dàng $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

Câu hỏi là:

Có thể sử dụng danh tính Parseval-Plancherel và viết tích phân ở trên dưới dạng $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

Nếu vậy, tích phân trên trở thành $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

Trông giống như một Biến đổi Fourier của $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$chức năng. Biến đổi Fourier này được tính như thế nào?

Answer 1

Nhắc lại nhận dạng mà biến đổi Fourier của $K(x)=\text{sech}(x)$ Là $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

Sử dụng danh tính này, biến đổi Fourier của $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ có thể dễ dàng tính toán

\ begin {method} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ nhãn {danh tính} \ end {phương trình}

Sử dụng phương trình quan hệ này, tích phân đã cho có thể dễ dàng tích phân

\ begin {method} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {rest} \ end {method}

Kiểm tra câu trả lời bằng số. Plot: Constant a Plot Constant c