Khoảng cách tối đa đi qua trong một chuyển động đường đạn lý tưởng
Trong chuyển động của đường đạn, hãy coi đường đạn được phóng đi từ $(0,0)$như được truy tìm trên trục cacte. Sau đó, quỹ đạo được đưa ra bởi$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ Ở đâu $\theta$ được đo từ $x$ trục và trọng lực tác động dọc theo $y$ trục, $R$ là viết tắt của phạm vi lớn nhất có thể thay đổi theo vận tốc ban đầu có độ lớn là $v$.
Sử dụng công thức độ dài cung của một đường cong chung, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ chúng ta nhận được khoảng cách đi qua dưới dạng tích phân của dạng D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Một mô hình tương tác có thể được tìm thấy ở đây.
Câu hỏi của tôi: Làm thế nào để tôi tìm thấy ở góc độ nào$\theta$ khoảng cách di chuyển của đạn sẽ được tối đa hóa, cho một $v$.
Tôi đã thử làm $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ nhưng nó đã cho tôi một ẩn số $\frac{dx}{d \theta}$, Tôi không thể tiếp cận xa hơn, vì vậy tôi đã tạo một biểu đồ ở đây và nhận thấy rằng biểu đồ gần$56.4^\circ$ nhưng tôi không chắc liệu nó có được sửa hay không.
Trả lời
Phương pháp của bạn lúc đầu không quá tệ, ngoại trừ việc bạn dường như đã bỏ qua (hoặc ít nhất là không nói rõ ràng) $R$ phụ thuộc $\theta$cũng như, đó là những gì làm cho vấn đề này khá khó giải quyết. Nếu tôi hiểu đúng về bạn, bạn sẽ muốn tìm thấy giá trị của$\theta$ (cho một tốc độ cố định $u$) để tối đa hóa tổng chiều dài của đường đạn trong không khí. Trong trường hợp này, sử dụng các dẫn xuất như$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$không hợp lý. Các biến mà bạn muốn tối đa hóa liên quan đến$a,b,$ và $c$, vì bạn sẽ tích hợp $x$!
Mặc dù lúc đầu tôi đã thuyết phục rằng vấn đề này nên có một kết quả phân tích đơn giản, nhưng có vẻ như không phải vậy! Theo như tôi thấy, để thực sự giải nó, bạn cần phải sử dụng phương pháp số. Nếu ai đó biết cách tốt hơn, tôi sẽ rất quan tâm. Hãy để tôi giải thích những gì tôi đã làm.
Tôi quyết định đưa ra các giả định sau:
Tổng vận tốc (một hằng số) là 1. Đây không phải là vấn đề, tôi vừa chọn các đơn vị trong đó $u=1$, điều này hoàn toàn có thể chấp nhận được.
Tôi sẽ chỉ thay đổi $u_y$, với ràng buộc ở trên. Giá trị của$u_x$ sẽ được khắc phục bởi $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Như bạn đã chỉ ra (nhưng công thức hơi khác một chút), tổng chiều dài của đường đạn là:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(Trong trường hợp này, tôi đã chọn tham số hóa đường cong theo thời gian $t$, mà tôi tích hợp từ $t=0$ đến $t=2 u_y/g$, có thể dễ dàng hiển thị là tổng thời gian của chuyến bay. Bạn cũng có thể làm theo cách của mình.)
Sử dụng thực tế rằng
\ begin {phương trình} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {phương trình}
thật dễ dàng để thể hiện điều đó
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
Vào những lúc như thế này, rất hữu ích để "adimensionalise" phương trình, để các giới hạn không phụ thuộc vào $u_y$. Chúng ta có thể xác định thời gian "không thứ nguyên"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ để tích phân trở thành:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
đó là một tích phân khá khó giải quyết bằng tay. Có lẽ những người ở Math.SE sẽ có thể làm điều đó một cách công bằng? Tôi quyết định sử dụng Mathematica để giải quyết nó .
Lần đầu tiên tôi tích hợp hàm bằng số và vẽ đồ thị tích phân cho các giá trị khác nhau của $u_y$ như được hiển thị bên dưới và rất ngạc nhiên khi thấy rằng $L$ đã có giá trị tối đa (suy nghĩ ban đầu của tôi có lẽ là không) cho $u_y$ ở đâu đó từ 0,82 đến 0,84.
Với điều này, tôi đã sử dụng Mathematica để tích hợp hàm và nhận thấy rằng
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Không có gì ngăn cản chúng tôi sử dụng các đơn vị $u=1$ và do đó $u_y \in (0,1)$và trong các đơn vị này
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Tiếp theo, tôi đã cố gắng tối đa hóa điều này như một chức năng của $u_y$ bằng cách lấy đạo hàm và cân bằng nó bằng 0, dẫn đến:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Đây là một phương trình siêu nghiệm và không dễ giải được. Nhưng không quá khó để giải nó bằng số để tìm ra$L$ được tối đa hóa khi $$u_y = 0.833557,$$
nằm trong phạm vi chúng tôi mong đợi. Điều này tương ứng với một góc của$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$