Làm thế nào để bạn "đọc" chức năng này?

Aug 15 2020

Tôi đang cố gắng hiểu một bằng chứng mà trong đó bạn phải tạo ra một hàm bị tổn thương $g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$ ($ℕ^ℕ$ là tập hợp tất cả các chức năng từ $ℕ$ đến $ℕ$), và cuốn sách của tôi định nghĩa nó như thế này:

Tôi hiểu (obvoiusly) phần nói $0.101001000..$ nhưng tôi không hiểu công thức của $a_n$. Nơi nó nói "cho một số$k≥1$"có nghĩa là tôi phải xác định $k$ trước khi áp dụng công thức đó hoặc tôi phải tính toán các giá trị thay đổi$k$ tăng ca?

Tôi đã cố gắng lấy cùng một số họ nhận được cho chức năng nhận dạng ( $0.10100..$) nhưng tôi không thể thấy cách họ lấy nó bằng công thức:
Sử dụng hàm nhận dạng$i(n)=n$, với $k=2$ điều kiện "nếu $n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$ sẽ trở thành $2+f(i(0))+f(i(1))$ nhưng làm thế nào để tôi biết những giá trị nào $f(0)$, $f(1)$ vv có?

Các bạn có thể vui lòng tính con số mà họ nhận được bằng cách sử dụng hàm nhận dạng bằng công thức đó không?

Cảm ơn bạn!

Trả lời

1 AlexPeter Aug 15 2020 at 16:19

Họ rất có thể đã lộn xộn và sử dụng $i$cho hai điều hoàn toàn khác nhau. ví dụ có nghĩa là ví dụ như vậy$i()$ là một ví dụ đơn giản cho $f()$ nhưng họ đã sử dụng $i$dưới dạng chỉ mục và dưới dạng tên hàm. Người xấu. Thay thế$i$ khi nó được sử dụng cho tên hàm, danh tính, dòng 4, 8 và 11 với ví dụ $d$ và đọc lại.

Biểu thức cho $a_n$là phức tạp không cần thiết, thêm vào một sự nhầm lẫn. Nó chỉ nói rằng có$f(0)+f(1)+...+f(m)$ số không cộng $m$ $1$trước mỗi $1$trong việc mở rộng. Đó là một sự đảo ngược logic khiến cho một điều rất đơn giản nghe có vẻ rất toán học, đó là một cách thực hành mà bạn có thể tìm thấy ở những nơi nghiêm túc hơn rất nhiều. Xin lỗi vì đã bị tra tấn. '

$f(0)$,$f(1)$là các giá trị của một hàm đã chọn. Vì vậy, đoạn này giải thích cách ánh xạ một hàm với một số thực. Nó có nghĩa là cho bất kỳ chức năng tạo ánh xạ này.

1 ChristianBlatter Aug 15 2020 at 16:17

Câu "Làm thế nào để tôi biết những giá trị nào $f(0)$, $f(1)$, v.v., có? "cho thấy có một số hiểu lầm xung quanh: $f$được trao cho bạn. Nó là một "điểm" có vô số tọa độ$\bigl(f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $\ldots\bigr) $. Bây giờ bạn phải mã hóa điểm này thành một chuỗi nhị phân mà từ đó tất cả các tọa độ$f(i)$có thể lấy lại sau này. Có vẻ như bạn đã hiểu ý tưởng của việc xây dựng như nó đã được minh họa trong ví dụ.

Vấn đề bây giờ là tìm ra một mô tả "toán học" về ý tưởng xây dựng. Mô tả đưa ra ít nhiều chuyển tải ý tưởng, nhưng người ta giả định rằng người đọc đã biết chuyện gì đang xảy ra. Tôi sẽ làm điều đó theo cách sau:$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, xác định số $n_k$ $(k\geq1)$ như sau: $$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$ và đặt $$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$