Làm thế nào để lập giao điểm của phương trình nD với mỗi phương trình có gốc phân biệt?
Giả sử chúng tôi có $n$-đường chiều / mặt phẳng / siêu phẳng $n$ đại diện bởi $n$lượng phương trình. Lưu ý rằng mỗi phương trình đi qua các điểm gốc khác nhau$O\in\mathbb{R}^n$.
Cách đơn giản nhất để:
- tính toán, và tùy chọn
- xác minh (loại, sự tồn tại) của giao lộ của chúng $I\in\mathbb{R}^n$?
Một ví dụ đơn giản nhất có lẽ sẽ như thế này:
$$\begin{equation}\begin{aligned} x_1 + y_1 &= a_1\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1}$$ $$\begin{equation}\begin{aligned} x_2 + y_2 &= a_2\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2}$$
với \ eqref {eq1} có nguồn gốc $O_1$ và \ eqref {eq2} có nguồn gốc là $O_2$.
Được vẽ như thế này:
2 dòng có nguồn gốc khác nhau trong $\mathbb{R}^2$
Hãy nói $I$được chứng minh bằng đồ thị để tồn tại như trên. Giải pháp phân tích để tiếp cận là gì$I_{x}$ và $I_{y}$?
Điểm cộng nếu nó có thể được xây dựng như một bài toán đại số ổn định về mặt số.
Trả lời
Nếu chúng ta sử dụng ký hiệu vectơ, điểm $\vec{p}$ đang ở trên siêu máy bay $\vec{n}, d$ nếu và chỉ nếu $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d \tag{1}\label{1}$$
Nhưng, nếu định nghĩa siêu phẳng liên quan đến nguồn gốc $\vec{o}$, sau đó nó là $$(\vec{p} - \vec{o}) \cdot \vec{n} = d \tag{2a}\label{2a}$$ tương đương với $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d + \vec{o} \cdot \vec{n} \tag{2b}\label{2b}$$
Nói cách khác, việc xác định siêu phẳng đối với một số điểm không phải tại điểm gốc, chỉ thay đổi thành phần vô hướng (khoảng cách có dấu) của siêu phẳng. Trong tọa độ tuyệt đối, thành phần vô hướng được tăng lên bởi tích số chấm giữa pháp tuyến siêu phẳng và điểm được sử dụng làm điểm gốc cho định nghĩa siêu phẳng.
Nếu chúng ta sử dụng $\vec{p} = (p_1 , \dots , p_N)$ đối với tọa độ của một điểm được xem xét, $\vec{n} = (n_1 , \dots , p_N)$ cho siêu phẳng bình thường và $\vec{o} = (o_1, \dots, o_N)$ đối với điểm được sử dụng làm điểm gốc cho định nghĩa siêu phẳng, chúng ta có thể viết $\eqref{2a}$ như $$(p_1 - o_1) n_1 + \dots + (p_N - o_N) n_N = d \tag{3a}\label{3a}$$ và $\eqref{2b}$ như $$p_1 n_1 + \dots + p_N n_N = d + o_1 n_1 + \dots + o_N n_N \tag{3b}\label{3b}$$ hoặc, ở dạng tổng hợp, như $$\sum_{i=1}^{N} p_i n_i = d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \tag{3c}\label{3c}$$
Giả sử bạn có hai siêu máy bay, $(n_1, \dots, n_N ; d)$ và $(u_1, \dots, u_N ; p)$, với "nguồn gốc" $(o_1, \dots, o_N)$ và $(g_1, \dots, g_N)$: $$\left\lbrace ~ \begin{aligned} \sum_{i=1}^N p_i n_i &= d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \\ \sum_{i=1}^N p_i u_i &= p + \sum_{i=1}^N g_i u_i \\ \end{aligned} \right . \tag{4} \label{4}$$ trong đó cả hai phương trình trong $\eqref{4}$ chỉ đúng với $(p_1, \dots, p_N)$ tại giao điểm của hai siêu máy bay.
Sự khác biệt duy nhất đối với tình huống chuẩn là tổng hằng số phụ được thêm vào thành phần vô hướng, chỉ phụ thuộc vào "điểm gốc" (liên quan đến siêu phẳng được xác định) và trên siêu phẳng thông thường.
Chúng ta có $N$siêu máy bay. Hãy sử dụng ký hiệu$\vec{n}_i = (n_{i, 1}, \dots, n_{i, N})$ cho các vectơ thông thường của chúng, và $d_i$ đối với khoảng cách đã ký của chúng từ điểm gốc tuyệt đối, tức là bao gồm tổng không đổi ở phía bên phải trong $\eqref{3c}$ hoặc là $\eqref{4}$.
Nếu chúng ta tạo thành một ma trận $\mathbf{M}$, với mỗi hàng bao gồm một siêu phẳng thông thường, $$\mathbf{M} = \left[ \begin{matrix} n_{1, 1} & n_{1, 2} & \dots & n_{1, N-1} & n_{1, N} \\ n_{2, 1} & n_{2, 2} & \dots & n_{2, N-1} & n_{2, N} \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ n_{N-1, 1} & n_{N-1, 2} & \dots & n_{N-1, N-1} & n_{N-1, N} \\ n_{N, 1} & n_{N, 2} & \dots & n_{N, N-1} & n_{N, N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{5}\label{5}$$ và một vectơ cột $y$ từ khoảng cách đã ký bao gồm cả tổng tiền bồi thường "gốc" không đổi, $$y = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_{N-1} \\ d_{N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{6}\label{6}$$ với $x$ là vectơ cột cho giao điểm, hệ phương trình trở thành $$\mathbf{M} x = y \tag{7a}\label{7a}$$ Điều này có một giải pháp nếu $\mathbf{M}$ là không thể đảo ngược, $$x = \mathbf{M}^{-1} y \tag{7b}\label{7b}$$
Trong một chương trình máy tính, $\mathbf{M}$có thể gần số ít nếu một số chuẩn gần như phụ thuộc tuyến tính (ví dụ, một tích số chấm theo cặp gần với tích của các chuẩn Euclide của chúng; hoặc, tương đương, các chuẩn gần như song song hoặc gần như đối lập). Rõ ràng, nếu hai hoặc nhiều đường chuẩn song song hoặc ngược chiều, thì giao điểm không còn là một điểm.
Trừ khi bạn đã loại bỏ các yêu cầu bổ sung, về cơ bản thì bất kỳ thư viện đại số tuyến tính nào cũng sẽ hoạt động tốt cho điều này.