Lý tưởng về ranh giới của $G/U \subset \overline{G/U}$

Aug 16 2020

Để cho $G$ là một nhóm đại số bán đơn giản, $B \subset G$ là một nhóm con Borel và $U \subset B$ là cơ sở duy nhất của $B$. Chúng ta có thể xem xét sự đa dạng$G/U$. Hãy để chúng tôi cũng biểu thị$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Người ta biết rằng sự biến hình tự nhiên$G/U \rightarrow \overline{G/U}$là một nhúng mở. Để cho$\partial{G/U}$ là ranh giới của $G/U$ phía trong $\overline{G/U}$. Bây giờ lưu ý rằng$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, trong đó tổng chạy qua các ký tự chi phối $\mu$ của $G$ (chúng tôi sửa một số điểm xuyến cực đại $T \subset B$, đây $V(\mu)$ là đại diện không thể giải thích của $G$ với trọng lượng cao nhất $\mu$).

Tuyên bố: lý tưởng của $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ được tạo ra bởi $V(\mu)$ với $\mu$thường xuyên (chi phối hoàn toàn). Làm thế nào để chứng minh tuyên bố này? Có thể có bất kỳ tài liệu tham khảo?

Trả lời

7 dhy Aug 16 2020 at 02:39

Đây là một cách để xem nó, thông qua phân loại $G$-các lý tưởng cấp tiến bất biến. (Điều này có phần thưởng là nó mô tả rõ ràng ranh giới.)

Bổ đề: $G$-các lý tưởng bất biến $I$ của $\mathbb{C}[G/U]$ đang ở dạng lưỡng phân với các bộ trọng lượng $S$ vì vậy mà cho $\lambda\in S$$\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Một lý tưởng như vậy là cực đoan cho tất cả$\lambda\notin S,$ chúng ta có $n\lambda\notin S$ cho tất cả các số nguyên dương $n$.

Để xem điều này, hãy lưu ý rằng $G$-invariance nói với bạn rằng $I$ phải chia thành một tổng $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ cho một số bộ $S$. Bây giờ nếu$\lambda\in S,$ bản đồ nhân $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ là mặt khách quan và do đó $\mu > \lambda$ cũng phải ở $S$.

Tuyên bố về những lý tưởng cấp tiến cũng diễn ra tương tự.

Từ tuyên bố này, bạn có thể thấy rằng số khác không $G$- lý tưởng cấp tiến bất biến (nhất thiết phải cắt bỏ ranh giới) tương ứng với việc lấy $S$ tập hợp tất cả các trọng lượng thông thường.