Lý tưởng về ranh giới của $G/U \subset \overline{G/U}$
Để cho $G$ là một nhóm đại số bán đơn giản, $B \subset G$ là một nhóm con Borel và $U \subset B$ là cơ sở duy nhất của $B$. Chúng ta có thể xem xét sự đa dạng$G/U$. Hãy để chúng tôi cũng biểu thị$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Người ta biết rằng sự biến hình tự nhiên$G/U \rightarrow \overline{G/U}$là một nhúng mở. Để cho$\partial{G/U}$ là ranh giới của $G/U$ phía trong $\overline{G/U}$. Bây giờ lưu ý rằng$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, trong đó tổng chạy qua các ký tự chi phối $\mu$ của $G$ (chúng tôi sửa một số điểm xuyến cực đại $T \subset B$, đây $V(\mu)$ là đại diện không thể giải thích của $G$ với trọng lượng cao nhất $\mu$).
Tuyên bố: lý tưởng của $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ được tạo ra bởi $V(\mu)$ với $\mu$thường xuyên (chi phối hoàn toàn). Làm thế nào để chứng minh tuyên bố này? Có thể có bất kỳ tài liệu tham khảo?
Trả lời
Đây là một cách để xem nó, thông qua phân loại $G$-các lý tưởng cấp tiến bất biến. (Điều này có phần thưởng là nó mô tả rõ ràng ranh giới.)
Bổ đề: $G$-các lý tưởng bất biến $I$ của $\mathbb{C}[G/U]$ đang ở dạng lưỡng phân với các bộ trọng lượng $S$ vì vậy mà cho $\lambda\in S$ và $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Một lý tưởng như vậy là cực đoan cho tất cả$\lambda\notin S,$ chúng ta có $n\lambda\notin S$ cho tất cả các số nguyên dương $n$.
Để xem điều này, hãy lưu ý rằng $G$-invariance nói với bạn rằng $I$ phải chia thành một tổng $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ cho một số bộ $S$. Bây giờ nếu$\lambda\in S,$ bản đồ nhân $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ là mặt khách quan và do đó $\mu > \lambda$ cũng phải ở $S$.
Tuyên bố về những lý tưởng cấp tiến cũng diễn ra tương tự.
Từ tuyên bố này, bạn có thể thấy rằng số khác không $G$- lý tưởng cấp tiến bất biến (nhất thiết phải cắt bỏ ranh giới) tương ứng với việc lấy $S$ tập hợp tất cả các trọng lượng thông thường.