Mỗi tuần tự $\sigma(E',E)$- chức năng tuyến tính liên tục trên không gian Banach kép $E'$ nhất thiết phải đánh giá điểm?
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$Đối ngẫu giữa hai không gian vectơ$E$ và $F$ kết thúc $\bf K$ ($= {\bf R}$ của ${\bf C}$), theo định nghĩa, là một dạng song tuyến $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ như vậy, nếu $\langle x, y\rangle =0$ Cho mọi $x$ trong $E$, sau đó $y=0$. Và ngược lại.
Với một đối ngẫu như trên, người ta định nghĩa cấu trúc liên kết yếu trên$F$, thường được ký hiệu $\sigma (F,E)$, là cấu trúc liên kết thô nhất mà theo đó các chức năng tuyến tính $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ liên tục cho mọi $x$ trong $E$.
Đó là một thực tế cổ điển rằng mọi $\sigma (F,E)$- chức năng tuyến tính liên tục $\varphi :F\to \bf K$, có thể được biểu diễn bằng một vectơ trong$E$ theo nghĩa là tồn tại một (nhất thiết là duy nhất) $x$ trong $E$ như vậy mà $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
Do đó, người ta có thể hỏi:
Câu hỏi . Liệu điều trên vẫn giữ nếu tính liên tục được thay thế bằng tính liên tục tuần tự . Nói cách khác, phải tuần tự$\sigma (F, E)$- chức năng tuyến tính liên tục trên $F$ được biểu diễn bằng một vectơ trong $E$.
Trước khi người đọc chuyển sang nhiệm vụ chứng minh hoặc bác bỏ nó, hãy để tôi nói rằng rất tiếc câu trả lời là phủ định, một ví dụ phản bác được trình bày dưới đây.
Vì vậy, hãy để tôi chuyên môn hóa vấn đề này một chút bằng cách hạn chế trong trường hợp $E$ là một không gian Banach và $F$ là đối ngẫu tôpô của nó, với đối ngẫu kinh điển $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
Để được chính xác:
Câu hỏi . Để cho$E$ là một không gian Banach và để $\varphi $ là một hàm tuyến tính trên $E'$ đó là tuần tự $\sigma (E',E)$-tiếp diễn. Là$\varphi $ nhất thiết phải được biểu diễn bằng một vectơ trong $E$?
Điều này rõ ràng là đúng nếu $E$ là phản xạ và tôi nghĩ tôi cũng có thể chứng minh điều đó cho $E=c_0$, cũng như cho $E=\ell ^1$.
VÍ DỤ VỀ BỘ ĐẾM
Để cho $E=\sc F(H)$ là tập hợp tất cả các toán tử hạng hữu hạn trên không gian của Hilbert, và $F=\sc B(H)$, với tính hai mặt được xác định bằng dấu vết, cụ thể là $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
Trong trường hợp này $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ hóa ra là cấu trúc liên kết toán tử yếu (WOT), trùng với cấu trúc liên kết toán tử yếu sigma ($\sigma $-WOT) trên các tập con có giới hạn của $\sc B(H)$.
Vì các trình tự hội tụ WOT được giới hạn bởi Banach-Steinhauss, chúng tôi có các trình tự hội tụ WOT giống như $\sigma $-KHÔNG những cái hội tụ. Nó theo sau rằng mọi$\sigma $-WOT-chức năng tuyến tính liên tục trên $\sc B(H)$cũng là WOT-liên tục. Tạo một câu chuyện dài ngắn, cho mọi toán tử lớp theo dõi$S$ trên $H$ của thứ hạng vô hạn, hàm tuyến tính $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ là WOT tuần tự-liên tục, nhưng nó không được đại diện bởi một toán tử trong $\sc F(H)$.
Trả lời
Mikael de la Salle chỉ ra điều này đúng khi $E$có thể phân tách được, như được thể hiện trong Hệ quả V.12.8 của Conway, Một khóa học về phân tích chức năng, 2e .
Đối với mẫu đếm không phân tách được, hãy xem xét không gian thứ tự không đếm được $[0, \omega_1]$, là Hausdorff nhỏ gọn, và $E = C([0, \omega_1])$. Theo định lý biểu diễn Riesz,$E'$ là không gian của các biện pháp Radon đã ký kết $\mu$ trên $[0, \omega_1]$với định mức tổng biến động của nó. Để cho$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. Điều này rõ ràng không được biểu thị bằng bất kỳ vectơ nào trong$E$ kể từ chức năng $1_{\{\omega_1\}}$ không liên tục, nhưng tôi khẳng định $\varphi$ là tuần tự $\sigma(E', E)$ tiếp diễn.
Để cho $\mu_n$ là một chuỗi hội tụ đến 0 trong $\sigma(E', E)$ và sửa chữa $\epsilon > 0$. Vì mỗi$\mu_n$ Radon là thước đo tổng biến thể của nó $|\mu_n|$và do đó chúng tôi có thể ước tính $\{\omega_1\}$ trong $|\mu_n|$-đo từ bên ngoài bằng bộ mở. Vì vậy, có tồn tại$\alpha_n < \omega_1$ như vậy mà $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. Để cho$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; sau đó$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ Cho mọi $n$.
Định nghĩa $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ bởi $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ và lưu ý rằng $f$là liên tục. Hiện nay$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
Nhưng theo giả định $\int f\,d\mu_n \to 0$, và $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$, vì vậy chúng tôi kết luận $\varphi(\mu_n) \to 0$.