Nếu $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ liên tục và hội tụ với $f$ ngược lại, phải $f$là Riemann Tích phân? [bản sao]

Question

Tôi đang cố gắng giải quyết câu hỏi sau

Đúng hay sai? Nếu$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ là một chuỗi các hàm liên tục hội tụ với $f$ theo chiều kim, sau đó $f$ có thể tích hợp Riemann không và $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Với sự trợ giúp từ các nhận xét, tôi đã tìm thấy ví dụ này khác , nhưng tôi hy vọng có một ví dụ đơn giản hơn.

Nếu chúng ta thay tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue, thì kết quả là đúng theo Định lý Hội tụ Chi phối. Điều này ngụ ý rằng nếu$f$ là Riemann Integrable, sau đó thực sự $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Vì vậy, khi tìm kiếm một ví dụ ngược lại, chúng ta nên cố gắng tìm một ví dụ ở đó $f$ không phải là tích phân Riemann.

Cảm ơn bạn rất nhiều sự giúp đỡ nào.

Answer 1

Ví dụ ngược lại cổ điển như sau: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Để cho$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (tồn tại bởi vì nó là giới hạn của một chuỗi giảm dần dương), sau đó tồn tại $n_0$ như vậy mà $f_{n_0}$ không phải là tích phân Riemann mà tạo thành một ví dụ ngược lại vì $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ Riemann có thể tích hợp cho tất cả $m$, hoặc là $f_n$ tất cả đều có thể tích hợp Riemann, nhưng vì $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ không thể tích hợp Riemann và $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, thì đây là một ví dụ ngược lại.