Nếu $G=AB$ là một thừa số hóa st $q\not\mid |A|$ Ở đâu $q$ là nguyên tố, sau đó cho $g\in G,a\in A$, có một $x_1\in A$ st $\alpha(gx_1^q)=a$.

Aug 15 2020

Để cho $G$ là một nhóm abelian và $A,B$ là tập hợp con của $G$.
Giả sử$AB$ là một thừa số hóa của $G$, tức là, mọi $g\in G$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $ab$ Ở đâu $a\in A$$b\in B$. Đây$a$ nó được gọi là $A$-một phần của $g$ và được ký hiệu bởi $\alpha(g)$.
Để cho$q$ là một nguyên tố như vậy $q\not\mid |A|$.

Chọn một $a\in A,g\in G$ và xác định $T$ trở thành tập hợp của tất cả $q$ tuples $$(x_1,\dots,x_q) \text{ where } x_1,\dots,x_q\in A$$$$\alpha(gx_1\dots x_q)=a.$$ Bằng cách sử dụng thực tế rằng $|T|=|A|^{q-1}$ và hành động nhóm (hoán vị tuần hoàn), nó có thể được chứng minh rằng có một $x_1\in A$ như vậy mà $\alpha(gx_1^q)=a$. Điều tôi muốn thể hiện ở đây là$x_1$ được xác định duy nhất bởi $a$$g$.

Để cho $x_1,x_2\in A$ như vậy mà $\alpha(gx_1^q)=a=\alpha(gx_2^q)$. Tôi muốn thể hiện điều đó$x_1=x_2$. Có tồn tại$b_1,b_2\in B$ như vậy mà $gx_1^q=ab_1$$gx_2^q=ab_2$. Sau đó, tôi nhận được$(x_1x_2^{-1})^q=b_1b_2^{-1}$. Tôi cần một số ý tưởng hoặc gợi ý để hoàn thành bằng chứng.

Trả lời

3 tkf Aug 21 2020 at 06:05

Như đã giải thích trong nhận xét của tôi, nếu $A$ là hữu hạn thì nguyên tắc chuồng chim bồ câu cùng với bằng chứng thanh lịch của bạn (+1) rằng bản đồ $A\to A$ gửi $x\mapsto \alpha(gx^q)$ là mặt khách quan, ngụ ý rằng nó cũng là tổn thương.

Mặt khác nếu $A$ là vô hạn, chúng tôi có ví dụ đối số sau:

Để cho $G=\mathbb{Z}$$$A=\{6n,6n+1,6n+2| n\in \mathbb{Z}\},\qquad B=\{0,3\}$$ Để cho $q=3$ (Tôi đang bỏ qua điều kiện $q\not\!||A|$ khi nào $A$ vô hạn, vì nó không rõ nghĩa là gì).

Sau đó, bản đồ $x\mapsto \alpha(0+3x)$không phải là chủ quan cũng không phải là chủ quan: \ begin {eqnarray} 0 & \ mapsto & 0, \\ 1 & \ mapsto & 0, \ end {eqnarray}$3x\neq1,4 \implies \alpha(0+3x)\neq 1$.