Nếu hai biến ngẫu nhiên $X_1$ và $X_2$ phụ thuộc thì phải $X_1^2$ và $X_2^2$ bị phụ thuộc?

Question

Nếu hai biến ngẫu nhiên $X_1$ và $X_2$ sau đó phụ thuộc $X_1^2$ và $X_2^2$ bị phụ thuộc.

Tôi tin rằng tuyên bố này là sai. Xét rằng$X_1$ và $X_2$ bị phụ thuộc ngụ ý

$\sigma(X_1)$ phụ thuộc vào $\sigma(X_2)$ đó là các đại số sigma được tạo ra bởi mỗi rv là phụ thuộc, nhưng vì $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ và $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ giảm có thể dẫn đến đại số sigma độc lập.

Ví dụ về bộ đếm mà tôi nghĩ ra là

để cho:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ và $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Lưu ý rằng hai biến ngẫu nhiên này phụ thuộc nhiều nhưng khi tôi bình phương cả hai $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ và $X_1|X_1=1$do đó hai biến ngẫu nhiên bình phương là độc lập. Đây có phải là âm thanh phản mẫu không?

Answer 1

Ví dụ phản bác của bạn hoạt động, được suy nghĩ vì $X_2^2$ là không đổi, nó không quá lộ liễu, vì nó độc lập với mọi thứ

Người khác có thể có $A$ và $B$ tiêu chuẩn độc lập bình thường (trung bình $0$, phương sai $1$) và

$X_1=A$ trong khi $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Sau đó $X_1$ và $X_2$ là các phân phối chuẩn có tương quan thuận trong khi $X_1^2$ và $X_2^2$ là các phân phối chi bình phương độc lập