Nếu mọi hàm có giá trị thực liên tục được xác định trên $K$ bị ràng buộc, sau đó $K$ nhỏ gọn

Question

Tôi đang cố gắng giải câu hỏi sau từ phần phân tích thực :

1. Để cho $K$ là một tập hợp con của $\mathbb R^n$ Ở đâu $n > 1$. Mệnh đề nào sau đây phải đúng?

(I) Nếu $K$ là nhỏ gọn, thì mọi hàm có giá trị thực liên tục được xác định trên $K$ bị ràng buộc.

(II) Nếu mọi hàm có giá trị thực liên tục được xác định trên $K$ bị ràng buộc, sau đó $K$ là nhỏ gọn.

(III) Nếu $K$ là nhỏ gọn, sau đó $K$ đã kết nối.

Chứng minh cho (I) là tiêu chuẩn. Tôi đang cố gắng xem (II) bằng sự mâu thuẫn.

Có thể đóng khung một bằng chứng cho (II) theo những dòng sau:

Giả sử $K \subseteq \mathbb R^n$không nhỏ gọn. Sau đó, tồn tại một trang bìa mở$\mathcal C$không có lớp phủ phụ hữu hạn. Nhưng$f: K \to \mathbb R$là liên tục. (...) Mâu thuẫn.

Answer 1

Một tập hợp con của $\mathbb{R^n}$là compact nếu và chỉ khi nó được đóng và có giới hạn, đây là kết quả chuẩn. Bây giờ, giả sử mọi hàm có giá trị thực liên tục được xác định trên$K$bị ràng buộc. Đặc biệt, hàm$f(x)=||x||$ bị ràng buộc vào $K$, vì thế $K$ là một tập hợp có giới hạn.

Vì vậy, chúng tôi chỉ phải chứng minh $K$đã đóng cửa. Vâng, giả sử không phải vậy. Sau đó, có một số điểm$y\in\overline{K}\setminus K$. Định nghĩa$f:K\to\mathbb{R}$ bởi $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Đây là một hàm liên tục không bị giới hạn, một sự mâu thuẫn.

Answer 2

Tôi chỉ muốn nói thêm rằng nếu phạm vi là số thực được ưu đãi với số liệu bị giới hạn, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, thì câu lệnh không đúng với không gian số liệu ngay cả khi $Dom(f)$ hài lòng với tài sản Heine-Borel.