Nếu một nhà phân tích $f$ thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào trong hai điều kiện này thì nó không đổi

Question

Tôi đang thử các câu hỏi bài tập của một viện mà tôi không theo học. Tôi bị ấn tượng về 2 điều này.

1. Nếu $f$ là chức năng khác biệt với một khu vực $X$ trong $\mathbb{C}$ thành $\mathbb{R}$ chứng minh rằng $f$ nhất thiết phải là một hằng số.

2. Nếu $f$ và $\bar {f}$ cả hai đều phân tích trong một khu vực $X$ cho thấy rằng chúng không đổi trên khu vực $X$.

Nỗ lực:

1. Khu vực luôn mở. Vì vậy, phạm vi của$f$ phải mở (định lý ánh xạ mở) nhưng $\mathbb{R}$ không mở trong $\mathbb{C}$ ngay cả khi nó là một singleton như phần bổ sung của $\{x\}$không đóng cửa. Vì vậy, tôi bối rối về cách tôi có thể chứng minh tuyên bố.

2. Đối với 2, tôi không có bất cứ điều gì để hiển thị vì tôi thực sự bối rối về việc sử dụng kết quả nào do $\bar{f}$ trong câu hỏi.

Giúp đỡ một cách tử tế.

Answer 1

Bằng chứng của bạn cho 1) là đúng. Đối với 2), nếu cả hai$f$ và $\bar{f}$ là holomorphic (có thể phân biệt), thì $\mathrm{Re}(f)$ và $\mathrm{Im}(f)$, nhưng phạm vi của chúng nằm ở $\Bbb{R}$. Theo những gì bạn đã chứng minh trong 1), cả hai điều này phải không đổi, do đó$f$ là hằng số.