Nhầm lẫn về định nghĩa của điểm tích lũy

Question

Tôi đã cố gắng tìm hiểu một chút về giới hạn của chuỗi và điểm tích lũy để có trực giác tốt hơn đằng sau các hoạt động của phép tính và tôi đã nhầm lẫn về định nghĩa giới hạn, điểm giới hạn và điểm tích lũy của chuỗi và tập hợp.

Câu hỏi đầu tiên của tôi là giới hạn của một dãy giống như điểm tích lũy và nó giống với điểm giới hạn mà tôi đã xem trên mạng và tất cả đều rất mơ hồ. Sự nhầm lẫn thứ hai của tôi là giới hạn của một dãy giống với giới hạn của một tập hợp nếu không có một số bằng chứng hoặc giải thích trực quan tại sao không ?.

Tôi biết đây có lẽ là một khái niệm rất đơn giản và có lẽ tầm thường đối với tất cả các bạn ở đây nhưng nó khiến tôi bối rối rất nhiều. Cảm ơn trước

Answer 1

Điểm giới hạn giống như điểm tích lũy và định nghĩa của nó là:

Một điểm $x$ là một điểm giới hạn của một tập hợp $A$ nếu cho mọi vùng lân cận $S$ của $x$ có tồn tại $y \in S$ như vậy mà $y \in A$, $y \neq x$.

Tôi thực sự thích cái tên "điểm tích lũy", bởi vì bạn không thực sự chấp nhận giới hạn ở đây ... ngược lại! Để có thể thực hiện các giới hạn, bạn thường yêu cầu điểm tích lũy, vì định nghĩa tôpô của một giới hạn yêu cầu lấy các vùng lân cận và tính toán hàm ở đó.

Về câu hỏi thứ hai của bạn:

Một điểm $x$là một điểm tích lũy cho một chuỗi $\{x_n\}$ nếu bất kỳ khu vực lân cận $S$ của $x$ như vậy là có vô số chỉ số $n$ như vậy mà $x_n \in S$.

Về cơ bản nó có cùng định nghĩa như trên, nhưng bạn lấy $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Tuy nhiên, một điểm là điểm giới hạn cho một chuỗi nếu tất cả các chỉ số sau một$n$ở bất kỳ khu vực lân cận nào. Về mặt hình thức:

Một điểm $x$ là giới hạn của một chuỗi $\{x_n\}$ nếu bất kỳ khu vực lân cận $S$ của $x$ như vậy có tồn tại không $N \in \mathbb{N}$ như vậy mà $x_n \in S$ cho tất cả $n>N$.

Và điều này mạnh hơn chỉ đơn giản là một điểm tích lũy: bạn có thể thấy sự khác biệt bằng cách xem xét trình tự $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Bất kỳ vùng lân cận nào của$1$ chứa vô số điểm của chuỗi này, cụ thể là tất cả $x_{2n}$ sau một thời gian nhất định $n$. Tương tự, bất kỳ vùng lân cận nào của$-1$ sẽ chứa tất cả $x_{2n+1}$ sau một thời gian nhất định $n$, Cả hai $1$ và $-1$ là các điểm cụm cho $x_n$. Tuy nhiên, không có giới hạn (trên thực tế, các giới hạn là duy nhất, nếu chúng tồn tại).

Answer 2

Có sự khác biệt giữa giới hạn và điểm giới hạn. Khái niệm được định nghĩa cho các chuỗi và hàm nhưng điểm giới hạn được xác định cho các bộ, như đã đề cập trong câu trả lời ở trên. Một chuỗi có thể có điểm giới hạn nhưng không có giới hạn. Ví dụ cho$\{a_n\}$ được định nghĩa là $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Cái đó $a_n=1+\frac{1}{n} $ cho số lẻ và $a_n=-1+\frac{1}{n} $dành cho các thiên thần. Trong chuỗi này, cả hai$1$ và $-1$ là các điểm giới hạn nhưng dãy không hội tụ và không có giới hạn.