Những hạn chế của ngôn ngữ toán học là gì?
Tôi đã nói rằng toán học không thể biểu thị định tính các phần tử của một tập hợp là gì, vì vậy bạn không thể nói ví dụ như các thành viên của tập hợp bao gồm các con hổ trắng. Vì vậy, toán học không thể thêm các chi tiết định tính vào một khái niệm toán học hoặc một ví dụ toán học. Tôi muốn biết một số hạn chế khác của ngôn ngữ toán học so với ngôn ngữ viết hoặc nói như tiếng Anh là gì.
Trả lời
Ngôn ngữ toán học đơn giản là một cách chặt chẽ hơn để nói về thế giới. Không có giới hạn nào đối với nó về mặt này, nó sẽ không là giới hạn đối với bất kỳ ngôn ngữ nào.
Rằng ngày nay không ai biết cách diễn đạt những câu chuyện cười, trò chơi chữ và thơ ca bằng toán học không có nghĩa là chúng không thể được diễn đạt bằng toán học. Chẳng hạn, đã có thời không ai biết cách biểu thị xác suất bằng toán học, và bây giờ hãy nhìn ...
Thực tế là không có bài thơ nào được viết bằng ngôn ngữ toán học không có nghĩa là điều này không thể được thực hiện. Thay vào đó, nó có vẻ là hệ quả trực tiếp của thực tế rằng nó là một ngôn ngữ chuyên dụng và do đó hầu hết mọi người không hiểu nó đủ tốt.
Nói đùa, đây là một câu, được viết bằng ngôn ngữ logic chính thống:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
Nó thực sự rất buồn cười, nhưng bạn cần phải hiểu nó và rất ít người hiểu nó.
Trái ngược với một số nhà bình luận ở đây, có một sự khác biệt lớn giữa toán học và ngôn ngữ, mặc dù thực tế là bất kỳ câu nào rõ ràng có thể được dịch thành "thông tin" toán học.
Russell, những người theo chủ nghĩa Thực chứng lôgic, và những người khác đã đặt ra mục tiêu loại bỏ những phẩm chất âm u của ngôn ngữ bằng cách giảm cả ngôn ngữ và toán học thành lôgic. Mặc dù công việc khá thành công, nhưng bản thân dự án bị coi là thất bại, ít nhất là một hệ thống hoàn chỉnh. Khoảng thời gian giữa Wittgenstein sớm và muộn mang đến một sự gói gọn đầy ấn tượng về "sự thất bại" này, dựa trên bản chất rộng lớn, phức tạp, sống động và biểu diễn của ngôn ngữ.
Ngay từ đầu, ngôn ngữ được thể hiện, mang tính trải nghiệm và chủ yếu bằng lời nói. Nó bắt đầu với những rung động trong bụng mẹ và liên tục với cuộc sống con người, bối cảnh vật lý và sinh sản. Chúng ta có thể phiên âm các từ thành các bảng chữ cái trực quan, nhưng chúng đòi hỏi một quá trình học tập gian khổ và không tự nhiên. Bạn không thể dịch những dấu hiệu trực quan này trở lại ngôn ngữ nếu không có quyền truy cập vào các từ đã nói. Ngoài các từ tượng hình thô thiển, bạn không thể dịch hoặc khôi phục một "ngôn ngữ chết" chẳng hạn như Linear A mà không có mối liên hệ nào đó, dù là gián tiếp, với ngôn ngữ "nói" sống.
Điều này cho thấy rằng ngôn ngữ có cùng một kiểu không thể đảo ngược theo thời gian như bản thân cuộc sống, trong khi toán học là "có thể đảo ngược" và do đó không có nghĩa, nếu "nghĩa" phải làm, như Luhmann nói, với các quan hệ từ thực tế đến khả thi. Toán học cố gắng loại bỏ càng nhiều nội dung trải nghiệm càng tốt, trong khi ngôn ngữ là kinh nghiệm và luôn giả định từ xa, một diễn giả hiện thân với một lịch sử và môi trường cụ thể.
Chúng ta không thể học toán mà không có ngôn ngữ, nhưng chúng ta dễ dàng học ngôn ngữ mà không cần toán học. Tất nhiên, về lý thuyết, một số người có thể tranh luận rằng AI sẽ đòi hỏi một phép toán hóa các kỹ năng ngôn ngữ duy nhất của con người di chuyển bên trong và giữa các bộ não. Nhưng một trong những năng lực ngôn ngữ của bộ não thông minh là chúng tự tái tạo, trong khi rất nghi ngờ rằng máy tính có thể tự tái tạo bên ngoài môi trường tái tạo con người.
Có một sự khác biệt quan trọng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng.
Toán học thuần túy quan tâm hoàn toàn đến các chân lý trừu tượng của dạng tổng quát "với những điều kiện hoặc định đề hình thức ban đầu nhất định, hậu quả là gì?" Ví dụ trong một hệ tiên đề, các điều kiện hình thức này được chia thành các nguyên hàm , quan hệ và tiên đề xác định cách áp dụng quan hệ giữa các nguyên hàm. Nhưng các nguyên thủy và các quan hệ không có ý nghĩa nội tại.
Khi một số ý nghĩa được áp dụng cho một nguyên hàm, bài tập sẽ trở thành một trong những toán học ứng dụng. Một ngành toán học thuần túy nhất định có thể được gán cho nhiều nghĩa khác nhau, mỗi ý nghĩa dẫn đến một nhánh toán học ứng dụng khác nhau. Như David Hilbert đã từng nhận xét một cách sai lầm về hình học tiên đề, người ta hoàn toàn có thể áp dụng "điểm", "đường" và "mặt phẳng" cho bàn, ghế và cốc bia.
Do đó, các thuộc tính toán học của các phần tử của một tập hợp, với tư cách là các trình giữ chỗ nguyên thủy, là lĩnh vực của toán học thuần túy, trong khi các tính chất toán học của một bầy hổ trắng là lĩnh vực của toán học ứng dụng.
Có rất nhiều toán học vững chắc đằng sau màu sắc và âm nhạc. Trong lý thuyết tập hợp, bạn có thể nói về các tập hợp với các hồng y vô hạn khác nhau về số lượng màu của chúng.
Cấu trúc logic có thể được vẽ sơ đồ, nói chung và cho các khái niệm cụ thể.
Tuy nhiên, tôi sẽ bảo vệ các khoản cược của mình và chỉ nói rằng chúng tôi không biết liệu chúng tôi có thể kết hợp mọi khái niệm liên quan với phép toán của riêng nó hay không, theo một cách phù hợp. Trong trường hợp thành công dường như không đến, có thể là do chúng ta chưa tìm ra được vấn đề từ ngữ, có thể nói như vậy.