$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ và nhân với $2$

Aug 16 2020

Tôi muốn tính toán nhóm cơ bản của mặt phẳng xạ ảnh thực $\text{P}^2(\mathbb{R})$ sử dụng định lý SVK.

Vì vậy, tôi chọn lập mô hình $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ như đĩa đơn vị $\{x:\|x\|\leq 1\}$ trong $\mathbb{R}^2$ bằng cách xác định các điểm đối cực nằm trên đường biên.

tôi lấy

  • $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
  • $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, Ở đâu $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
  • $A\cap B$

tất cả đều được kết nối với nhau.

Bây giờ, hãy sửa một điểm $x_0 \in A\cap B.$

$A$ có thể bị uốn cong do biến dạng thành $S^1$, vậy nên $A \approx S^1$$\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ Sự rút lại $r_A:A \to S^1$ gây ra một đẳng cấu $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ được đưa ra bởi $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ cho mọi vòng lặp $\lambda$ trong $A.$

Nếu tôi gọi $c$ vòng lặp tương ứng với $1 \in \mathbb{Z}$ theo đẳng cấu, tôi có đẳng thức $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; sự biến dạng, tạo ra một con đường$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ từ $x_0$ đến $r(x_0),$ cũng thuyết trình $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, nơi chúng ta có thể xem trình tạo như một vòng lặp với các điểm cuối $x_0$ thay vì $r(x_0).$

Mặt khác, $B$ có thể được ký hợp đồng với $\{x_0\},$ vì thế $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$

Cuối cùng, chọn một vòng kết nối khác $S^1_{x_0}$ đi qua $x_0$, Tôi rút lại $A \cap B$ với nó để $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$

Sự bao gồm $A \cap B \subset B$ gây ra một sự biến hình $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ mà chỉ có thể là bản đồ tầm thường gửi mọi thứ đến đường dẫn không đổi tại $x_0.$

Tiếp theo, bao gồm $A \cap B \subset A$ gây ra sự biến hình của các nhóm $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ được cho bởi $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ cho mọi vòng lặp $\ell$ trong $A \cap B$ với các điểm cuối $x_0.$

Tôi muốn hiểu cách chứng minh rằng bản đồ $a_*$ như đã định nghĩa ở trên phải là phép nhân với hai $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$

Trả lời

2 ggeolier Aug 16 2020 at 21:04

Sự biến hình $a_*$ đi một vòng $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ và gửi nó đến vòng lặp tương ứng trong $\pi_1(A,x_0),$ mà, vì bản đồ được tạo ra bởi sự bao gồm, chỉ là $[\ell]_A$, (I E $\ell$ modulo đồng âm trong $A$).

Bây giờ chúng ta thấy $[\ell]_A$ phía trong $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ thông qua đẳng cấu $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, và chúng ta có $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ bởi vì trên ranh giới các điểm đối cực được xác định và do đó chúng tôi đi hai lần xung quanh vòng tròn bên ngoài như $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (ở đây các lớp tương đương có điểm trong $S^1$).

Kéo trở lại $\pi_1(A,x_0)$ chúng tôi nhận được $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ và chúng tôi kết luận.

1 MaximeRamzi Aug 16 2020 at 20:48

Để cho $i:S^1\to D^2$ là sự bao gồm của ranh giới và $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ phép chiếu chính tắc.

Đặc biệt, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ các yếu tố thông qua $\partial$ (và do đó thông qua $A$, nhưng bao gồm $\partial \to A$là phép đồng hình tương đương); chúng ta hãy gọi$\alpha :S^1\to\partial$ bản đồ chúng tôi nhận được.

Chúng ta biết rằng $\partial \cong S^1$, vậy bản đồ là gì $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?

Vâng, bạn có sơ đồ giao hoán sau:

$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$

bản đồ ở đâu $\partial \to P^2(\mathbb R)$là sự bao gồm. Nếu chúng ta xác định$\partial \cong S^1$, bản đô $S^1\to S^1$ chỉ đơn giản là $z\mapsto z^2$: đó là một phép tính rõ ràng mà bạn có thể thực hiện. Có lẽ nó thực sự dễ dàng hơn để xác định$\partial$ theo cách đó và kiểm tra xem bạn có nhận được điều tương tự không.

Tôi nghĩ đó có thể là điểm chính mà bạn chưa rõ, vì vậy nếu vẫn chưa hiểu, đừng ngần ngại nói cho tôi biết.

Đặc biệt, $\alpha_*=$ nhân với $2$.

Nhưng cũng, $i$ đồng âm với việc bao gồm $S^1$ tại một vòng tròn nhỏ hơn trong $D^2$, và do đó $p\circ i$ là đồng hình với thuyết đồng hình $S^1\to S^1_{x_0}$.

Vậy bạn có sơ đồ giao hoán từ đồng âm sau:

$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$

Đang lấy $\pi_1$, từ $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ là một đẳng cấu và $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ là nhân với $2$, cuối cùng chúng tôi cũng nhận được điều đó $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ là nhân với $2$.

(Về mặt kỹ thuật, bạn có thể phải lo lắng về điểm cơ bản: có ít nhất hai cách để giải quyết vấn đề này ở đây: 1- lưu ý rằng tất cả các nhóm cơ bản có liên quan đều là abelian, và vì vậy nó không thay đổi bất cứ điều gì; hoặc 2- làm theo lý luận tương tự nhưng với các groupoid cơ bản, và cuối cùng là vá mọi thứ)

PedroTamaroff Aug 16 2020 at 18:03

Ý tưởng cơ bản là như sau, tôi nghĩ tôi sẽ thực hiện một chứng minh tương tự như của bạn, vì vậy hãy chịu đựng với tôi.

Như bạn đã làm, hãy xem xét mặt phẳng xạ ảnh $X$ và lấy một điểm $x_0$trong đó. Sau đó$U = X\smallsetminus x_0$ biến dạng rút vào quả cầu.

Lấy một quả bóng nhỏ $V$ xung quanh $x_0$, vậy nên $V\cap U$ còn biến dạng rút lại thành hình cầu.

Bây giờ cho $V\cap U$, bạn sẽ không xác định được bất kỳ điểm ranh giới nào, nhưng trong $U$, tại hình cầu biên, bạn sẽ xác định được chúng. Điều này dẫn đến hậu quả sau đây là bạn có thể tạo thành một sơ đồ giao hoán

$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$

nơi bản đồ dọc có độ $2$. Về cơ bản, nó sẽ gửi một vòng lặp tạo$U\cap V$mà gió một lần xung quanh ranh giới để một trong đó sẽ gió hai lần xung quanh ranh giới của$U$, vì trong đó bạn sẽ xác định được các điểm đối cực.

Thêm vào. Nếu bạn muốn chính xác hơn, hãy lưu ý rằng vòng lặp tạo cho$U$ có thể được coi là một vòng lặp trong đĩa đơn vị vẽ một nửa mặt trăng, đi từ $-1$ đến $1$ trong một đường gần như thẳng, thiếu điểm gốc và sau đó qua vòng cung. Điều này làm cho chúng ta dễ dàng thấy rằng vòng lặp tạo cho $U\cap V$ sẽ đại diện cho hai lần vòng lặp trước đó trong $U$.