Số từ $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ được viết và bất kỳ hai $x,y$ được lấy đi và chúng tôi thay thế $x,y$ chỉ bởi $x+y+xy$
Đây là một câu hỏi thực sự hay! (Mọi người đã gặp một câu hỏi khiến họ yêu thích môn toán, đây là câu hỏi của tôi :)
Chúng tôi viết một loạt các số $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$
Bây giờ chúng ta có thể chọn hai số bất kỳ $x$ và $y$ và chúng tôi thay thế hai số này chỉ bằng một số $x+y+xy$
Quá trình này được lặp lại cho đến khi chỉ còn lại một số, tìm số cuối cùng.
Điều này vừa khiến tôi bối rối! Thực sự không biết làm thế nào để tiếp tục. Không thú vị là chúng ta kết thúc với cùng một con số mặc dù chúng ta bắt đầu từ đâu? Tất cả các gợi ý đều được hoan nghênh về cách giải quyết nó
Trả lời
Đây là một câu hỏi bất biến: hãy tưởng tượng một hàm $f(x_1,...,x_m)$ (Ở đâu $m$ là một số đối số nhất định và $x_i$ là tất cả các số thực) với thuộc tính sau: $f(x_1,...,x_m)$ không thay đổi khi bạn lấy bất kỳ hai trong số những $x_i,x_j$ và thay thế chúng chỉ bằng $x_i+x_j+x_ix_j$.
Sau đó điều gì xảy ra? Nếu chỉ có một số$N$ trên bảng còn lại sau tất cả những điều đó, sau đó $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, vì thế $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ miễn là $f(x_1,...,x_m)$ có chính xác một preimage.
Một gợi ý cho chức năng này $f$ đến từ $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, vì vậy một cái gì đó như: thêm $1$ với tất cả các số bạn có và nhân các kết quả này với nhau?
Rõ ràng là một chức năng như vậy thực hiện công việc! Trong trường hợp đó, chúng ta phải thêm$1$với từng số và nhân tất cả chúng. Điều đó giống như nhân$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, đó chỉ là $2011$.
Bây giờ, bất kỳ số cuối cùng nào trên bảng, một điểm cộng nữa là $2011$, nên nó là $2010$.
Hoạt động $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ trên các số thực là liên kết nên kết quả không phụ thuộc vào thứ tự các bước và bằng $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$
Giả sử bạn chọn $\frac1m$ và $\frac1n$ trong lượt đầu tiên, hãy thay thế chúng bằng $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$
(lưu ý rằng $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)
Trong lượt tiếp theo, bạn có thể chọn hai số $\frac1a$ và $\frac1b$và số được thay thế sẽ giống như trên, với $a,b$ thay thế $m,n$. Tuy nhiên, nếu bạn chọn số mới có được ở bước trước, tức là$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ và một trong những số ban đầu $\frac1a$, sau đó bạn thay thế chúng bằng $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.
Điền vào các bước trung gian để hiển thị bằng cảm ứng rằng số được thay thế trong bất kỳ bước nào sẽ trông như thế nào $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, vì vậy câu trả lời cuối cùng sẽ là $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.