Tại sao các phương trình Maxwell không được xác định quá mức? [bản sao]

Question

Hãy xem xét bốn phương trình vi phân trong bảng được đưa ra trên wikipedia ở đây và giả sử rằng không có sự phân bố điện tích tại bất kỳ thời điểm nào và do đó cũng không có dòng điện. Nếu không có điện tích, thì bốn phương trình giảm xuống như sau:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Hai phương trình cuối cùng cho chúng ta biết cách cả từ trường và điện trường thay đổi tương ứng theo thời gian, do đó với một số từ trường và điện trường ban đầu, người ta có thể xác định bất kỳ trạng thái nào trong tương lai của cả hai trường. Điều này làm cho hai phương trình đầu tiên có vẻ thừa đối với tôi và do đó hệ thống có vẻ quá xác định. Tuy nhiên chúng rõ ràng là cần thiết, vì vậy tôi phải thiếu một cái gì đó. Hai phương trình đầu có đơn giản là điều kiện ban đầu không?

Answer 1

Hai phương trình Maxwell đầu tiên mô tả điện trường tĩnh và từ trường. Từ những phương trình này, chúng ta tìm hiểu các tính chất hình học của các trường đó, và bản chất của các đường sức mà các trường này tạo ra. Cái đầu tiên (khi có phí)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

dẫn chúng ta đến việc xác định dạng điện trường đối với bất kỳ loại phân bố điện tích nào. Điều này cực kỳ quan trọng đối với việc nghiên cứu tĩnh điện. Hơn nữa, phương trình này có thể được sử dụng để suy ra phương trình Poisson,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

cho phép chúng tôi xác định điện thế tĩnh điện $V$cho các phân phối phí khác nhau. Chúng ta cũng có thể sử dụng phương trình Maxwell ở trên để suy ra định luật Coulomb (mặc dù định luật này không nhất thiết chỉ là kết quả trực tiếp của phương trình này). Phương trình Poisson cũng là một công cụ rất mạnh trong nghiên cứu tĩnh điện. Phương trình này cũng có những ứng dụng mạnh mẽ trong vật lý bán dẫn.

Phương trình thứ hai mà bạn đề cập,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

cho chúng ta biết một điều rất quan trọng, đó là các đơn cực từ tính không tồn tại. Hàm ý toán học của phương trình này là phải tồn tại thế véc tơ từ$\vec A$ Ở đâu

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

Đây là một kết quả toán học mạnh mẽ. Thế véc tơ từ trường này phổ biến trong điện động lực học cổ điển và điện động lực học lượng tử.