Tại sao hành động của điều khiển-Z không bị thay đổi bằng cách trao đổi qubit điều khiển mục tiêu?

Question

Trong cuốn sách "Khoa học máy tính lượng tử", khi giải thích mã sửa lỗi, nó sử dụng hình ảnh này và nói "hành động của điều khiển-z không thay đổi bằng cách trao đổi qubit mục tiêu và điều khiển".

Điều này có nghĩa là hành động của cZ (qubit ancilla điều khiển và qubit từ mã đích) bằng với cz (qubit từ mã điều khiển và qubit ancilla đích)? Nếu đúng như vậy thì tại sao lại như vậy?

Theo hiểu biết của tôi, | 1> Z | 0> (qubit đầu tiên là qubit điều khiển) không bằng Z | 0> | 1> (qubit thứ hai là qubit điều khiển).

Answer 1

Nếu chúng ta có trạng thái hai qubit tùy ý:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

sau đó sau khi áp dụng $CZ_{1 \rightarrow 2}$ được kiểm soát từ qubit đầu tiên, chúng tôi sẽ thu được:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

bởi vì hoạt động điều khiển hoạt động khi qubit điều khiển $|1\rangle$ và $Z$ cổng thay đổi dấu hiệu của biên độ của $|1\rangle$ bang, do đó $CZ_{1 \rightarrow 2}$ hành động đang thay đổi dấu hiệu của $|11\rangle$.

Bây giờ hành động của $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Điều này cũng đúng ở đây chỉ có dấu hiệu của $|11\rangle$nên được thay đổi vì những lý do tương tự. Điều này cũng có thể được nhìn thấy bằng cách sử dụng ma trận:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$