Tại sao sự chuyển tiếp của một bó có thể đảo ngược trên BG sang sơ đồ thô của nó không thể đảo ngược?
Câu hỏi của tôi thực sự liên quan đến một ví dụ cụ thể. Để cho$G = \mu_2$ là nhóm tuần hoàn bậc 2. Cho $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, và để $BG := [*/\mu_2]$ thương số ngăn xếp, ở đâu $\mu_2$ hành động tầm thường $*$. Để cho$\mathcal{O}_{BG}$ biểu thị cấu trúc sheaf, và để $L$ biểu thị lá chắn không thể đảo ngược trên $BG$ tương ứng với đại diện không tầm thường của $\mu_2$ trên $\mathbb{C}$. Vì vậy,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$và hành động của $\mu_2$ trên $*\rightarrow BG$ gây ra hành động đảo ngược của $\mu_2$ trên $\mathbb{C}$.
Để cho $c : BG\rightarrow *$biểu thị bản đồ chính tắc thành lược đồ thô của nó. Tôi đã nghe nói rằng nếu$L$ biểu thị lớp bọc không thể đảo ngược trên $BG$ được đưa ra bởi đại diện không tầm thường của $\mu_2$ trên $\mathbb{C}$, sau đó $c_*L$ không thể đảo ngược trên $*$. Tuy nhiên, theo các định nghĩa (xem bên dưới), có vẻ như$c_*L$ thực sự là không thể đảo ngược $*$. Tôi đã sai ở đâu?
Theo định nghĩa của dễ hiểu, tôi tin rằng các phần toàn cầu của $c_*\mathcal{O}_{BG}$ phải bằng với giới hạn
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ trong đó giới hạn nằm trên tất cả các hình thái $f : *\rightarrow BG$ thỏa mãn $c\circ f = \text{id}_*$. Kể từ khi nhóm tự động hóa của$*\rightarrow BG$ hành động tầm thường $\mathcal{O}_{BG}$, đây chỉ là giới hạn của sơ đồ hai đối tượng $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, chỉ là đường chéo trong $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Tương tự, các phần toàn cầu của $c_*L$ nên là giới hạn của sơ đồ hai đối tượng $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, đó chỉ là tập hợp các cặp $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Hành động của $c_*\mathcal{O}_{BG}$ trên $c_*L$ nên là hành động nhân theo chiều tọa độ của sơ đồ $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ trên sơ đồ $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Tức là, trên các phần toàn cầu, hành động$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ chỉ nên được cung cấp bởi $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Điều này dường như làm cho$c_*L$ thành một cái bọc không thể đảo ngược trên $*$, nhưng tôi đã nghe nói rằng điều này thực tế không đúng. Tôi đã sai ở đâu?
Trả lời
Đơn giản $c_{\ast}L$ phải là giới hạn của sơ đồ với một đối tượng "$\mathbb{C}$"và hai (tự động) biến hình"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"và"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; nói cách khác, nó là bộ cân bằng của $\mathrm{id}$ và nhân-với- ($-1$); do đó trên thực tế$c_{\ast}L = 0$.
Một tuyên bố tổng quát hơn là: theo sự tương ứng giữa bán mạch lạc $\mathcal{O}_{BG}$-mô-đun và $G$-các bản trình bày, bộ điều khiển đơn giản $c_{\ast}$ Tương ứng với $G$-invariants functor.
Nếu chúng tôi thay thế $\mathbb{C}$ theo trường đặc điểm 2, thì chúng ta phải cẩn thận - nói chung là gần như mạch lạc $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-môđun là $\mathbb{Z}/(2)$-các bản trình bày và gần như mạch lạc $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-môđun là $\mathbb{Z}/(2)$-không gian vectơ được nâng cấp (tăng dần ở đây tương ứng với việc lấy mức độ $0$ thành phần phân loại).