Tiếp cận vật lý bằng cách sử dụng phân tích thông thường thay vì phân tích không chuẩn
Theo như tôi biết, trong vật lý, phép tính được tiếp cận bằng cách sử dụng phân tích không chuẩn trong đó $dx$, $dy$, v.v. (số lượng nhỏ) được coi là số lượng cố định, cực kỳ nhỏ thay vì phương pháp phân tích tiêu chuẩn sử dụng các giới hạn trong đó chúng được coi là thứ tiếp cận $0$.
Tôi hiểu rằng cách tiếp cận không tiêu chuẩn rất trực quan và dễ hiểu. Trên thực tế, tôi đã làm phép tính bằng cách tiếp cận không chuẩn cho đến vài ngày trước khi tôi gặp phải những câu hỏi triết học liên quan đến các phép tính vô cực. Tôi vô cùng bối rối vì cách tiếp cận này và khi tôi tiếp cận phép tính sử dụng giới hạn, tôi cảm thấy như mình đã đạt được một mức độ hiểu biết hoàn toàn mới và sự rõ ràng về khái niệm.
Bây giờ, trong vật lý, cho một hàm $f$, $f'(x)$ hoặc là $\dfrac{df}{dx}$ được hiểu là tỷ lệ thay đổi của $f(x)$ với một thay đổi rất nhỏ trong $x$, I E $dx$. Nó cũng được hiểu là độ dốc xấp xỉ của tiếp tuyến với đường cong của$f$ tại $(x,f(x))$. Cách tiếp cận này và trực giác hình học cũng được sử dụng để rút ra định lý cơ bản của phép tính giải tích, trong đó nói rằng nếu$F(a)$ cho diện tích dưới đường cong của $f(x)$ từ $x = 0$ đến $x = a$, I E $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Sau đó, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ Ở đâu : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ Cách tiếp cận không chuẩn cũng được sử dụng để lấy một số công thức giống như công thức được suy ra như sau:
- Đối với một sự dịch chuyển vô cùng nhỏ $dx$, công việc vô số được thực hiện tức là $dW$ Là $F_2(x)\cdot dx$
- Tổng khối lượng công việc đã thực hiện, tức là $W$, Là $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Lưu ý: tại đây, $F_2(x)$ biểu thị lực mà hạt phải trải qua tại vị trí $(x)$. Ví dụ, nếu chúng ta đang nói về lực tĩnh điện,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Vì vậy, về cơ bản, hầu hết các phép tính toán được sử dụng trong vật lý được tiếp cận bằng cách sử dụng các phép phân tích không chuẩn và không chuẩn.
Nhưng, phân tích tiêu chuẩn có vẻ khắt khe hơn nhiều đối với tôi và có ý nghĩa hơn nhiều. Tôi đã hỏi một vài người bạn đã hỏi giáo viên của họ làm thế nào để sử dụng phép phân tích tiêu chuẩn trong vật lý thay vì phân tích không chuẩn nhưng không giáo viên nào có vẻ bận tâm.
Vì vậy, tôi muốn biết làm thế nào tôi có thể tiếp cận vật lý thông qua phân tích tiêu chuẩn.
PS: Tôi hiện đang ở 10 thứ cấp và chỉ bao gồm những điều cơ bản của 11 thứ cấp được nêu ra. Một câu trả lời mà tôi có thể hiểu được mà không có nhiều kiến thức về toán cao cấp sẽ được đánh giá cao.
Chỉnh sửa: Tôi rất biết ơn vì hai câu trả lời mà tôi đã nhận được. Tôi đã liều lĩnh giả định rằng phân tích không chuẩn và việc sử dụng heuristic của các số liệu ngẫu nhiên là một và giống nhau nhưng không phải như vậy, như người dùng Qmechanic và PM 2Ring đã chỉ ra . Tôi muốn làm rõ rằng bất cứ khi nào tôi sử dụng thuật ngữ 'phân tích không tiêu chuẩn', tôi thực sự đang đề cập đến việc điều trị$dy$, $dx$, v.v. như thực tế, số lượng rất nhỏ và $\dfrac{dy}{dx}$ như một tỷ lệ ...
Trả lời
Vì vậy, về cơ bản, hầu hết Giải tích được sử dụng trong Vật lý được tiếp cận bằng cách sử dụng các phép phân tích vô cực và không chuẩn.
Tiền đề này là không đúng sự thật. Mặc dù các lập luận vật lý về các phép phân tích vô cực có thể giống các lập luận điển hình trong "phân tích không chuẩn", nhưng vật lý cơ bản thường không hoạt động ở mức độ chặt chẽ mà bạn có thể quyết định rõ ràng liệu nó có sử dụng phép phân tích phi tiêu chuẩn hay không. Vật lý không quan tâm đến các câu hỏi cơ bản của phân tích, và ví dụ: đạo hàm của một hàm là một phép gần đúng với hệ số góc của nó bất kể bạn đang sử dụng nền tảng nào (có thể nhiều hoặc ít công việc để suy ra điều này tùy thuộc vào nền tảng của bạn, nhưng nó vẫn luôn luôn đúng).
Nếu bạn đang tìm kiếm sự chặt chẽ, thường có một cách giải thích hợp lệ như nhau về "các số lượng nhỏ" vật lý dưới dạng các dạng vi phân chuẩn , ví dụ:$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ chỉ đơn giản là định nghĩa của 1 dạng được gọi là $\mathrm{d}W$, có tích phân trên các đường dẫn $\gamma$ được định nghĩa là công việc $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ dọc theo con đường.
Không có sự khác biệt về tính chặt chẽ giữa NSA và phân tích tiêu chuẩn. (Về mặt lý thuyết mô hình, chúng tương đương nhau.) Tuy nhiên, hầu hết các phép tính toán vô cực mà bạn thấy trong các bài báo và sách vật lý sẽ cần được làm lại hoặc xây dựng một chút để đưa nó vào NSA.
Thông thường, việc dịch qua lại giữa hai ngôn ngữ là rất nhỏ. Các nhà khoa học và kỹ sư nên thông thạo cả hai.