Tìm tất cả các chức năng $f$ như vậy mà $f(mn) = f(m)f(n)$ và…

Question

Tìm tất cả các chức năng $f : N → N$ như vậy mà

(a) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ cho tất cả $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ cho $m < n$

Đầu tiên, tôi đã thay thế $m=1,n=2$ để có được $f(1)=1$. Tiếp theo, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng tất cả các quyền hạn của$2$sẽ bằng chính họ. Đó là$f(4)=4,f(8)=8$, và như thế. Bây giờ, bước tiếp theo tôi không chắc là chính xác. Như$f(4)>f(3)>f(2)$và $f : N → N$, Tôi nghĩ $f(3)$ chỉ có thể là $3$nhưng một lần nữa tôi không chắc lắm. Nếu đúng như vậy, thì tôi tin rằng chức năng duy nhất có thể là$f(x)=x$.

Bây giờ cho phần tiếp theo của vấn đề-

Điều gì xảy ra nếu điều kiện thứ ba không được đưa ra cho chúng ta?

Thật không may, tôi thậm chí không có câu trả lời cho vấn đề chứ đừng nói đến một giải pháp. Bất kỳ gợi ý cũng sẽ hữu ích, cảm ơn.

Answer 1

Dễ dàng hơn :

nếu $f(1)=1$ và $f(2^n)=2^n$, và bởi vì bạn có $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

khả năng duy nhất là $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ và như thế.