Tính toán liên quan đến các dạng vi phân phức tạp
Tôi đang đọc ghi chú bài giảng này về hình học phức tạp và tôi đang bị mắc kẹt ở một phép tính (có vẻ cơ bản) liên quan đến các dạng vi phân phức tạp. Giả sử$X$ là một bề mặt phức tạp và $\omega$ là một dạng holomorphic (1,0), tức là $\omega$ bị giết bởi nhà điều hành $\overline{\partial}$. Để cho$\overline{\omega}$là dạng liên hợp (0,1) tương ứng. Tác giả khẳng định rằng
\ begin {method *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {method *}
Bây giờ kể từ $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, phía bên tay phải không có gì ngoài $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Nhưng tôi không thể thấy làm thế nào phía bên trái có thể được viết trong cùng một biểu thức (sử dụng quy tắc thông thường cho các dẫn xuất bên ngoài). Bất kỳ cái nhìn sâu sắc sẽ được đánh giá cao.
Trả lời
LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ là một dạng ba trong khi RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$là một dạng bốn. Chúng không giống nhau.
Nhìn vào ghi chú, họ đã viết
Bây giờ theo Định lý Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (bởi vì $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).
Tôi tin rằng đó chỉ là lỗi đánh máy và họ có thể có ý $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$