Tính toán vòng nhóm $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ cho một lĩnh vực $k$ đặc điểm $0$

Aug 15 2020

Xem xét một lĩnh vực $k$ đặc điểm $0$ và một số nguyên dương $n.$Trong phần chứng minh Định lý 4.19 về Polytopes, Ring và Thuyết K của Bruns và Gubeladze, người ta nói rằng chúng ta có một phép đẳng cấu.$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ Ở đâu $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ là vòng nhóm tương ứng với nhóm số nguyên theo chu kỳ modulo $n;$tuy nhiên, tôi đang gặp khó khăn trong việc thuyết phục bản thân về điều này. Tôi tin rằng$k$-algebra homomorphism $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ do nhiệm vụ gây ra $x^m \mapsto \overline m$ là mặt khách quan, nơi chúng ta biểu thị $\overline m = m \text{ (mod } n),$ vì vậy tôi muốn cho thấy điều đó $\ker \varphi = (x^n - 1),$ nhưng tôi đã không thể làm điều này.

Khi điều này được thiết lập, tôi nhận ra rằng (như $k$ có đặc điểm $0$) chúng tôi có cái đó $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ Ở đâu $\Phi_d(x)$$d$thứ đa thức cyclotomic. Do đó, đa thức$x^n - 1$tách thành một tích của các đa thức bất khả quy tương đối nguyên tố từng cặp; do đó, các tác giả cho rằng$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$là sản phẩm tensor của các miền. Nhưng tôi không thấy làm thế nào$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ nếu đây thực sự là những gì các tác giả khẳng định.

Tôi sẽ đánh giá rất cao bất kỳ thông tin chi tiết, nhận xét hoặc đề xuất nào. Cảm ơn bạn.

Trả lời

2 JCAA Aug 15 2020 at 21:34

Về câu hỏi đầu tiên. Nhân chứa$x^n-1$. Vòng đa thức là PID nên nhân được tạo bởi một đa thức nào đó$f(x)$. Sau đó, phần còn lại$r(x)$ của $f$ khi chia cho $x^n-1$phải thuộc nhân. Cái đó$r(x)$ có bằng cấp $<n$. Đại số tuyến tính dễ dàng sau đó cho thấy rằng$r$$0$. Do đó, hạt nhân được tạo ra bởi$x^n-1$.