Ví dụ về đẳng cấu của đại số Lie

Question

Tôi đang tìm một ví dụ về Đại số Lie isomorph. 2 đại số là đồng phân, nếu tồn tại một hàm tuyến tính lưỡng tính$g_1 \rightarrow g_2$ bản đồ nào tất cả $X,Y \in g_1$ giống $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Vì vậy, 2 đại số Lie mà tôi có thể nghĩ đến sẽ là tích chéo trong ${\rm I\!R}^3$ và đại số Commutator của trường Vector bất biến bên trái nhưng tôi không thể nghĩ ra một hàm ánh xạ chúng như tôi đã nêu trước đây.

Answer 1

Ví dụ, được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó:

1. Để cho $\mathfrak g$là bất kỳ đại số Lie. Bản đồ nhận dạng$x \mapsto x$ là một đẳng cấu từ $\mathfrak g$ cho chính nó.

2. Để cho $V$, $W$ là không gian vectơ trên một trường $k$và định nghĩa dấu ngoặc nhọn trên chúng là $[v_1, v_2] = 0$ và $[w_1,w_2]=0$ cho tất cả $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Chứng tỏ rằng đại số Lie$V$ và $W$ (với các dấu ngoặc này) là đẳng cấu nếu và chỉ khi $V$ và $W$có cùng thứ nguyên. (Đây chỉ là một kiểm tra bạn hiểu đẳng cấu của không gian vectơ, cơ sở tuyệt đối của đại số tuyến tính.)

3. Để cho $k$ là bất kỳ lĩnh vực nào và $\mathfrak{gl}_n(k)$ đại số Lie được cho bởi tất cả $n \times n$-matrices kết thúc $k$, với dấu ngoặc nhọn được cung cấp bởi dấu phẩy ma trận $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (Ở đâu $\cdot$là phép nhân ma trận thông thường). Để cho$g$không thể đảo ngược $n\times n$-matrix hết $k$, tức là một phần tử của $\mathrm{GL}_n(k)$. Cho thấy rằng bản đồ$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ là một đẳng cấu từ $\mathfrak{gl}_n(k)$cho chính nó, tức là một biến hình tự động của$\mathfrak{gl}_n(k)$.

4. Để cho $\mathfrak{gl}_n(k)$như trong ví dụ về previos. Bản đồ gửi từng ma trận đến chuyển vị âm của nó,$$ A \mapsto -A^T$$ là một đẳng cấu từ $\mathfrak{gl}_n(k)$cho chính nó, tức là một biến hình tự động của$\mathfrak{gl}_n(k)$.

5. Để cho $k$ là bất kỳ lĩnh vực nào, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ một hai chiều $k$-không gian hiệu trưởng với cơ sở $v_1, v_2$ và dấu ngoặc nhọn $[v_1, v_2] = v_2$. Để cho$\mathfrak g_2$ là hai chiều khác $k$-không gian hiệu trưởng với cơ sở $w_1,w_2$ và $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Tìm một đẳng cấu của đại số Lie$\mathfrak g_1$ và $\mathfrak g_2$.

6. Để cho $\mathfrak g_1$ và $\mathfrak g_2$ giống như trong ví dụ trước, ngoại trừ việc bây giờ dấu ngoặc nhọn Lie bật $\mathfrak g_2$ được đưa ra bởi $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ Ở đâu $c \in k^\times$ và $a \in k$. Một lần nữa tìm một đẳng cấu$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Đối với ví dụ này và ví dụ trước, xem Phân rõ Đại số 1- và 2- chiều, cho đến Isomorphism , Làm thế nào để có được một đẳng cấu rõ ràng (được xác định rõ ràng) giữa hai đại số Lie nonabelian bất kỳ của thứ nguyên$2$, Đại số nói dối hai chiều , Đại số nói dối hai chiều - chúng ta biết gì mà không biết đến Dấu ngoặc? )

7. Để cho $k$ là bất kỳ lĩnh vực đặc trưng nào $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ đại số Lie của vô giá $2 \times 2$-matrices (với dấu ngoặc nhọn đưa ra như trong ví dụ 3). Để cho$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ ("dạng tách của $\mathfrak{so}_3$") cũng với dấu ngoặc nhọn được cung cấp bởi dấu phẩy ma trận. Tìm một đẳng cấu giữa hai đại số Lie này. (So sánh đại số Lie$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ và $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Bằng chứng trực tiếp rằng$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Phép phân lập rõ ràng giữa đại số nói dối trực giao ba chiều và đại số nói dối tuyến tính đặc biệt của thứ nguyên$3$ và các liên kết trong đó.)

8. Để cho $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (một không gian con thực ba chiều của $2 \times 2$ma trận phức tạp); Hãy tự thuyết phục bản thân rằng một lần nữa với dấu ngoặc Lie được đưa ra bởi dấu phẩy ma trận (như trong ví dụ 3), đây là một đại số Lie. Chứng tỏ nó là đẳng lập với$\mathbb R^3, \times$tức là đại số Lie thực ba chiều với dấu ngoặc Lie được cho bởi tích chéo. (So ​​sánh Tại sao có yếu tố$2$ trong đẳng cấu $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Đây dường như là những gì bạn ám chỉ trong câu hỏi.)

9. Tìm một đẳng cấu giữa $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ và đối xứng xiên $4\times 4$ ma trận hơn $\mathbb C$. (Xem đẳng thức rõ ràng giữa đại số Lie trực giao bốn chiều và tổng trực tiếp của đại số Lie tuyến tính đặc biệt của chiều 3 )

10. Tìm một đẳng cấu giữa tổng trực tiếp của xiên đối xứng $3 \times 3$ ma trận thực với chính nó, và$4 \times 4$ma trận đối xứng xiên thực. (Xem phân lập giữa$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ và $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

11. Đối với $\mathfrak g$một đại số Lie thực, phần mở rộng / phức hợp vô hướng $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ là một đại số Lie phức tạp với dấu ngoặc Lie được cho bởi phần mở rộng song tuyến của $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Dễ dàng: Cho thấy rằng sự phức tạp của$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ là đẳng lập với $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Khó hơn: Đối với$\mathfrak{su}_2$ như được định nghĩa trong ví dụ 8, cho thấy rằng sự phức tạp hóa $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ cũng là đồng phân với $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Phần thưởng: Cho thấy rằng bất chấp điều đó, đại số Lie thực$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ và $\mathfrak{su}_2$không phải là đồng phân của nhau. (So ​​sánh kết nối chính xác giữa sự phức tạp của$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ và $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Có phải các phức tạp đại số Lie không$\mathfrak g_{\mathbb C}$ tương đương với cấu trúc đại số Lie trên $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , và có thể nhiều hơn nữa.)

Ngoài ra, hãy thử Tìm đồng dạng đại số Lie .