Ví dụ về một hàm có thuộc tính tò mò

Aug 16 2020

Biểu thị bởi $L^1(0,1)$ không gian của các hàm tích phân Lebesgue trên khoảng $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Có tồn tại một chức năng không $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ như vậy mà:

  1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Tôi đoán rằng câu trả lời là tích cực và vấn đề là xây dựng $F$ như vậy mà $F$$F'$cư xử phù hợp gần bằng không. Nó có vẻ khá tế nhị. Tôi đã kiểm tra điều đó$F$ không thể là một đa thức hoặc một hàm lũy thừa (kể từ đó $F'\simeq \frac{F}x$do đó điều kiện 2 và 3 không thể giữ đồng thời).

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ gợi ý!

Trả lời

11 FedorPetrov Aug 16 2020 at 05:59

Không có chức năng này. Đầu tiên,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ khi nào $a,b\to 0$. Vì thế$F$ có giới hạn $c$ tại điểm 0. Nếu $c\ne 0$, thì 1) không thành công. Vì thế$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Kế tiếp, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Hiện nay $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Hãy xem xét hai trường hợp:

  1. $F$ có dấu cố định gần 0. Sau đó chọn $a,b$ gần bằng 0, chúng tôi kết luận từ (1) và (2) rằng $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ hội tụ tại 0, nhưng điều này tương đương với hội tụ của $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ mà chúng tôi cần.

  2. $F$ có vô hạn số 0 trong bất kỳ vùng lân cận nào của 0. Sau đó chọn $(a_k,b_k)$ là khoảng bao gồm-tối đa của tập hợp mở $\{x:F(x)\ne 0\}$ và đăng ký (2) cho $a=a_k,b=b_k$ chúng tôi ràng buộc $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ thông qua $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Đây$c=b_1$, ví dụ.