Chứng minh hoặc bác bỏ các dữ kiện cơ bản về một chuỗi phụ (định nghĩa được phát minh)

Question

Tôi đang tự học phân tích thực tế từ Understanding AnalysisStephen Abbot. Tôi muốn hỏi liệu tôi có suy ra kết luận chính xác cho những khẳng định dưới đây về một chuỗi phụ (định nghĩa được phát minh) hay không.

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Định nghĩa . Giả sử rằng một chuỗi sẽ phụ nếu chuỗi các tổng riêng phần chứa một dãy con hội tụ.

Hãy xem xét định nghĩa (được phát minh) này trong giây lát và sau đó quyết định câu nào sau đây là mệnh đề hợp lệ về chuỗi phụ:

(a) Nếu $(a_n)$ bị ràng buộc, sau đó $\sum a_n$ tàu ngầm.

(b) Tất cả các chuỗi hội tụ đều là phụ.

(c) Nếu $\sum \absval{a_n}$ lật đổ, sau đó $\sum a_n$ tàu ngầm cũng vậy.

(d) Nếu $\sum a_n$ lật đổ, sau đó $(a_n)$ có một dãy con hội tụ.

Bằng chứng. (a) Mệnh đề này sai. Như một ví dụ phản chứng, hãy xem xét trình tự$(a_n):=1$. Chuỗi các tổng từng phần là$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Không có phần phụ của$(s_n)$hội tụ. Vì thế,$\sum {a_n}$ không bị lật đổ.

(b) Vì chuỗi là hội tụ, chuỗi các tổng riêng phần hội tụ và do đó bất kỳ dãy con nào của các tổng riêng phần cũng hội tụ đến cùng một giới hạn. Vì vậy, tất cả các chuỗi hội tụ là phụ.

(c) Tôi nghĩ mệnh đề này đúng. Để cho$(s_n)$ là chuỗi các tổng từng phần của các giá trị tuyệt đối và $(t_n)$ là chuỗi các tổng từng phần của chuỗi $\sum a_n$.

Theo định nghĩa của phân kỳ, có một số $(s_{f(n)})$ của $(s_n)$mà hội tụ. Không mất tính tổng quát, giả sử$(s_{2n})$là một trong những dãy con hội tụ như vậy. Sau đó, tồn tại một$N \in \mathbf{N}$ như vậy mà, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}

cho tất cả $n > m \ge N$.

Sử dụng thực tế này, chúng ta có thể viết một bất đẳng thức đẹp cho dãy con $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}

cho tất cả $n \ge N$.

Như phần trên đúng cho tất cả các dãy con $(s_{f(n)})$ Ở đâu $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một sự phản đối, $\sum a_n$ là chìm.

(d) Tôi không thể nghĩ ra một ví dụ ngược lại cho việc này.

Answer 1

• Đối với a) bằng chứng của bạn là ổn
• Đối với b), cũng được
• Đối với c), tôi sẽ viết:

Hãy $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ và $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ cho tất cả $n$.

Sau đó cho tất cả $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ và $a_n = a_n^+ - a_n^-$.

Từ $\sum |a_n|$ là nổi dậy, và $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ và $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, chúng tôi có cái đó $\sum a_n^+$ và $\sum a_n^-$ là phụ, vì vậy tổng $\sum a_n$ là chìm.

(Thực tế là nếu $\sum u_n$ hội tụ với $(u_n)$ tích cực, sau đó cho tất cả $(v_n)$ tích cực như vậy $\forall n,v_n\leqslant u_n$ subverges sẽ xứng đáng có một bằng chứng, nhưng nó không khó lắm)

• Đối với d) Tôi xác định $(a_n)$ như vậy cho $n\geqslant 0$,

$a_{2n} = -n$ và $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.

Sau đó $\sum a_n$ hội tụ kể từ (nếu chúng tôi lưu ý $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ hội tụ khi $n\rightarrow +\infty$.

Nhưng rõ ràng chúng ta không có dãy con hội tụ.