Để cho $x_0$là một số siêu việt, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Giới hạn của $x_n$?

Question

Để cho$x_0$là một số siêu việt,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Giới hạn của$x_{n}$?

Chọn$x_0=\pi$, và có vẻ như giới hạn của$x_n$Là$-1$. Nhưng đâu là bằng chứng cho điều này$\pi$và các số khác? Để cho$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Những điều sau đây có thể hữu ích.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

Để cho$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Nếu$\lim x_n$tồn tại, sau đó$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, rất thiết lập$$L=f(L)$$

Có ba giải pháp cho điều này:$L = -3, -1, 1$. Để tìm đúng, hãy lưu ý rằng đối với một khu phố nhỏ xung quanh$-3$, bạn có$|f(x)+3|>|x+3|$, Và xung quanh$1$, bạn có$|f(x)-1|>|x-1|$. Cho cả hai$-3$và$1$, sự khác biệt sẽ còn lớn hơn. Xung quanh$-1$mặt khác, bạn có$|f(x)+1|<|x+1|$, do đó, sự khác biệt ngày càng trở nên nhỏ hơn (đây không phải là một bằng chứng chặt chẽ mà là một bằng chứng trực quan hơn).

Do đó, đối với "hầu hết"$x_0$, nó sẽ hội tụ thành$-1$. Cách duy nhất nó sẽ hội tụ với$-3$hoặc$1$là nếu nó hội tụ chính xác trong một số lần lặp lại hữu hạn. Nhưng để điều đó trở thành sự thật, nó phải là một giải pháp để$$f^n(x_0) = -3$$(hoặc$1$) cho một số$n$, nghĩa là nó phải là đại số. Do đó, đối với tất cả siêu việt, giới hạn sẽ là$-1$.