Định nghĩa về sự kết nối và nó là trực giác
Chúng tôi nói một không gian tôpô $X$được kết nối nếu nó không thể được viết dưới dạng kết hợp rời rạc của hai tập hợp con không mở. Sự kết nối trực giác có nghĩa là không gian tôpô của chúng ta là một mảnh duy nhất. Tôi không thể hiểu cách định nghĩa trên nắm bắt trực giác. Hãy giúp tôi.
Trả lời
Nếu tất nhiên bất kỳ khoảng trống $X$ có hai điểm trở lên có thể được viết là $A \cup B$, với $A,B$rời rạc và không trống rỗng, theo nhiều cách. Nhưng bị ngắt kết nối có nghĩa là có một cách để làm điều đó sao cho$A$ là "gần với" $B$ và không có điểm của $B$ là "gần với" $A$. Gần với được chính thức hóa trong cấu trúc liên kết bằng cách đóng. Vì vậy, hãy gọi một không gian$X$ ngắt kết nối khi chúng ta có thể viết nó là $A \cup B$, cả hai đều đặt không trống và như vậy $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (không có điểm $B$ gần với $A$) và $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (không có điểm $A$ gần với $B$). Nhưng điều này ngụ ý rằng$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ đặc biệt $A=\overline{A}$ và $A$đã đóng cửa. Đối xứng,$B$ cũng đóng cửa, và như $A$ và $B$ là sự bổ sung của nhau, $A$ và $B$ cũng đang mở (bạn cũng có thể thấy như sau, ví dụ: nếu $x \in A$ không phải là một điểm nội thất của $A$, mọi vùng lân cận của $x$ sẽ chứa không$A$ điểm, vì vậy điểm của $B$, như $A\cup B=X$. Và nếu mọi vùng lân cận của$x$ giao nhau $B$, $x \in \overline{B}$, nhưng chúng tôi cho rằng không có điểm $x$ của $A$ gần với $B$...)
Vì vậy, chúng tôi đang ở định nghĩa của câu hỏi, gọi một không gian không bị ngắt kết nối theo nghĩa này, "kết nối". Trên thực tế, nó tương đương với yêu cầu trong định nghĩa ngắt kết nối cho các bộ phận mở đồng thời, bộ phận đóng đồng thời hoặc các bộ phận "tách rời" (như định nghĩa đầu tiên).
Nếu bạn cắt một số tập hợp được kết nối thành hai phần, thì tại vị trí cắt, một trong hai phần sẽ "mở", còn phần kia sẽ "đóng". Ví dụ, nếu bạn cắt đường thẳng thực thành hai đoạn tại điểm$a\in\mathbb R$, bạn sẽ nhận được hai mảnh $(-\infty,a],(a,\infty)$, hoặc là $(-\infty,a),[a,\infty)$. Ít nhất một trong số chúng có ranh giới đóng tại$a$. Các điểm thuộc vết cắt cần phải được đưa vào một trong hai mảnh và mảnh đó sẽ có điểm cắt là điểm biên. Tương tự như vậy đối với các không gian phức tạp hơn: đường mà chúng ta cắt dọc phải được phân bố giữa hai phần, tạo cho chúng một ranh giới, khiến chúng không bị mở.
Tất nhiên, chúng ta không cần phải cắt dọc một đường thẳng / mặt phẳng / bất cứ điều gì, nhưng đó là trường hợp trực giác rõ ràng nhất ngay lập tức.