Giải toán đệ quy bằng phép loại suy với một phương trình vi phân

Question

Tôi đã gặp vấn đề này:

---

Hãy trình tự $u_n$ được định nghĩa bởi thuật ngữ đầu tiên của nó $u_0 > 0$ và $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Tìm công thức tiệm cận cho $u_n$.

---

Tôi nghĩ rằng chúng ta có thể giải nó bằng cách tương tự với phương trình $$f' = \frac{1}{f}$$ đưa ra công thức tiệm cận $u_n \sim \sqrt{2 n}$, và đây thực sự là câu trả lời đúng.

Nói chung, chúng tôi lấy $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, điều kiện của một hàm liên tục, tích cực, giảm dần sẽ là gì $f$ sao cho phương pháp tương tự với một phương trình vi phân cho công thức tiệm cận đúng?

Cảm ơn rất nhiều !

Answer 1

Như đã lưu ý trong nhận xét bên dưới, câu trả lời này không chính xác

---

Giả sử rằng $y$ là một giải pháp cho phương trình vi phân $y' = f(y)$và $u_n$ giải quyết sự tái phát $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ với $u_0 = y(0)$. Theo định lý giá trị trung bình, chúng tôi thấy rằng đối với tất cả$n$, tồn tại một $c \in [n,n+1]$ mà $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Bởi vì $f$ đang giảm, chúng tôi có $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Bây giờ, giả sử rằng $w_n$ thỏa mãn $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$và $w_0 = y(1)$. Chúng tôi cảm thấy rằng$u_n \leq y(n) \leq w_n$. Đặc biệt, chúng tôi chúng tôi rằng nếu sự bất bình đẳng giữ cho$n = k$, sau đó $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ và sự bất bình đẳng $y(k+1) \geq u_{k+1}$ có thể được nhìn thấy tương tự.

Với điều đó, chúng ta có thể kết luận như sau: nếu $f$ như vậy là sự tái diễn $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ có cùng một tiệm cận cho tất cả $u_0 > 0$, sau đó nó theo sau rằng các tiệm cận của dãy $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ được tạo ra từ một giải pháp cho $y' = f(y)$ với $y(0) > 0$ giống nhau.