Hệ thống nhân của một vòng và một thể loại
Nếu A là bất kỳ thể loại nào, thì một loại hình thái$S$trong A được cho là một hệ thống nhân cho dù$(a)$ nó đóng theo thành phần, đó là: $id_X$ trong $S$ Cho mọi $X$ở A và bất cứ khi nào$f$ và $g$là các hình thái trong A sao cho thành phần$gf$ có ý nghĩa $gf$ trong $S$; $(b)$ bất kỳ sơ đồ nào của biểu mẫu $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ với $s$ trong $S$ có thể được hoàn thành như $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} với$t$ trong $S$. Tương tự với tất cả các mũi tên đã đảo ngược. Cuối cùng$(c)$ cho một cặp hình thái $f,g:X\to Y$ có tồn tại $s$ trong $S$ với $sf=sg$ nếu và chỉ khi tồn tại $t$ trong $S$ với $ft=gt$.
Câu hỏi của tôi là: định nghĩa này có trùng khớp với khái niệm về tập đóng nhân cho bất kỳ vành nào không$R$ nếu chúng ta nhìn vào $R$như một Ab -category chỉ với một đối tượng? Điều kiện chắc chắn$(a)$ cung cấp chính xác những gì chúng ta mong muốn cho một tập hợp đóng nhiều lần (đó là một tập hợp con $S\subseteq R$ như vậy mà $1\in S$ và $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), và nếu $R$ là giao hoán, $(b)$ và $(c)$ trở nên hiển nhiên, nhưng trong trường hợp một vành không giao hoán, tôi không thể tìm thấy một bằng chứng nào về các điều kiện này.
Có ai có thể cung cấp bằng chứng hoặc ví dụ ngược lại không? Nếu một ví dụ ngược là câu trả lời, thì có lý do sâu xa nào khiến nó chỉ hoạt động trong trường hợp giao hoán, hay khái niệm hệ thống nhân được thiết kế chỉ để tổng quát hóa những trường hợp này?
Trả lời
Vâng, nó trùng hợp, nhưng khá tầm thường (trong trường hợp giao hoán).
Xem vòng (đơn kim giao hoán) của bạn $R$như một danh mục như sau. Các$R$hành động mô-đun của $R$ tự nó gây ra một sự biến hình $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, vì vậy chúng tôi có thể xem xét danh mục với một đối tượng (cụ thể là $R$) và tập hợp các hình thái là $\iota(R)$. Thực tế là điều này tạo thành một$\mathbf{Ab}$-category là một phần của tiên đề của một chiếc nhẫn. Bạn cần chiếc nhẫn là đơn kim để biến hình nhận dạng có mặt, và tính giao hoán mang lại cho bạn những tiên đề khác. Ví dụ, nếu bạn được cho$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} về cơ bản bạn được cung cấp hai phần tử của vòng ban đầu$R$. Sơ đồ có thể dễ dàng hoàn thành bằng cách giả định rằng$R$ là giao hoán kể từ $sf = fs$ dẫn đến sơ đồ giao hoán $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} Câu lệnh (c) được chứng minh tương tự bằng cách lấy$t=s$. Tôi không biết về cách bản địa hóa các vòng không giao hoán tại các tập hợp con$S$ nói chung, nhưng tôi dám cá rằng nếu những ý tưởng này có ý nghĩa, thì bản địa hóa $S^{-1}R$ sẽ tồn tại khi $R$không có tính chất giao hoán trong trường hợp cụ thể khi các tiên đề phân loại đó được thỏa mãn, nhưng không phải nói chung. Tôi đọc cái này để biết một chút về bản địa hóa không giao hoán và nó không cảm thấy hứng thú như bản đối lập giao hoán.
Hy vọng điều đó sẽ giúp,