Mối quan hệ giữa định lý HK thứ nhất và định lý HK thứ hai là gì?
Định lý Hohenberg-Kohn (HK) đầu tiên : Thế năng bên ngoài$v(\vec{r})$ được xác định, trong một hằng số phụ gia nhỏ, bằng mật độ electron ở trạng thái cơ bản $\rho(\vec{r})$.
Từ cơ học lượng tử cơ bản, chúng ta biết rằng: $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Theo định lý HK đầu tiên, chúng ta có thể biết thêm rằng$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Về bản chất, định lý HK đầu tiên chứng minh ánh xạ 1-1 giữa các điện thế bên ngoài và mật độ trạng thái cơ bản$\rho$ trong hệ nhiều electron.
Định lý HK thứ hai : Tồn tại một hàm phổ quát của mật độ,$F_{HK}[\rho']$, như vậy cho bất kỳ $N$- mật độ đại diện ($\textit{i.e.}$, bất kỳ mật độ nào đến từ một số hàm sóng cho một $N$-hệ thống điện tử) $\rho(\vec{r})$, mang lại một số electron nhất định $N$, chức năng năng lượng là, $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ trong đó $E_g$ là năng lượng ở trạng thái cơ bản và bằng nhau khi mật độ $\rho'(\vec{r})$ là mật độ ở trạng thái cơ bản, có thể suy thoái $\rho_0'(\vec{r})$ cho tiềm năng bên ngoài $v(\vec{r})$.
Từ hai phát biểu, tôi không thể thấy bất kỳ mối liên hệ nào giữa hai định lý. Vậy mối quan hệ giữa hai định lý là gì? Nếu$F_{HK}(\rho')$là hàm của mật độ trạng thái cơ bản, tôi có thể xây dựng mối liên hệ giữa hai định lý. Nhưng mật độ trong$F_{HK}[\rho]$ không phải là mật độ trạng thái cơ bản cần thiết.
- Về định lý HK thứ nhất: http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
- Về định lý HK thứ hai: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub
Trả lời
Sử dụng ký hiệu của bạn, định nghĩa cho hàm phổ quát là
$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$
Ở đâu $\hat{T}$ và $\hat{W}$tương ứng là toán tử tương tác động học và electron-electron. Định nghĩa này có thể thực hiện được vì ánh xạ 1-1 giữa các mật độ và các hàm sóng trạng thái cơ bản tương ứng của chúng (ví dụ:$\psi_0$ là một chức năng của $\rho$), mà tôi tin rằng đó là kết nối mà bạn đang tìm kiếm.
Một kết nối chính thức là định lý đầu tiên được sử dụng trong chứng minh của định lý thứ hai. Thật vậy, thứ hai là bản dịch của nguyên tắc$E[\Psi']$ có mức tối thiểu ở chức năng sóng trạng thái cơ bản chính xác $\Psi$, sử dụng thư từ 1-1 $\rho \leftrightarrow \Psi$ được biết đến từ định lý đầu tiên.
Dẫn xuất có thể được tìm thấy trong bài báo gốc của Kohn và Hohenberg (phần I-2.). Nó khá ngắn và dễ đọc, vì vậy nó đáng để xem.