Một câu hỏi về đạo hàm phân số
Tôi thực tế không biết gì về phép tính phân số vì vậy tôi xin lỗi trước nếu phần sau là một câu hỏi ngớ ngẩn. Tôi đã thử trên math.stackexchange.
Tôi chỉ muốn hỏi liệu có khái niệm đạo hàm phân số là tuyến tính và thỏa mãn tính chất sau không $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ Ở đâu $\alpha$là một vô hướng. Trong trường hợp của các dẫn xuất tiêu chuẩn, chúng ta sẽ có$\alpha = n$.
Cảm ơn rât nhiều.
Trả lời
Về cơ bản không có giải pháp thú vị nào cho phương trình này ngoài các toán tử bậc nhất và bậc 0, ngay cả khi người ta chỉ áp đặt ràng buộc đã nêu cho $n=2$.
Đầu tiên, chúng ta có thể khử cực giả thuyết$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ Bằng cách thay thế $f$ với $f+g, f-g$ cho các chức năng tùy ý $f,g$ và trừ (và sau đó chia cho $4$) để có được nhận dạng loại Leibniz linh hoạt hơn $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
Hiện có ba trường hợp, tùy thuộc vào giá trị của $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$. Áp dụng (2) với$f=g=1$ sau đó chúng tôi kết luận rằng $D^u(1)=0$, và sau đó áp dụng (2) lại chỉ với $g=1$ chúng tôi nhận được $D^u(f)=0$. Vì vậy, chúng tôi có giải pháp nhỏ$D^u=0$ trong trường hợp này.
- $\alpha_2=2$. Sau đó$D^u$là một dẫn xuất và bằng cách quy nạp, chúng ta có$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, giống như với đạo hàm thông thường, vì vậy chúng ta chỉ có $\alpha_n=n$ cho tất cả $n$ không có hành vi phân số.
- $\alpha_2=1$. Áp dụng (2) với$g=1$ chúng tôi có được (sau một chút đại số) $D^u(f) = mf$ Ở đâu $m := D^u(1)$. Như vậy$D^u$ chỉ là một toán tử cấp số nhân, tuân theo $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, do đó $\alpha_n=1$ cho tất cả $n$.
Do đó, không có nghiệm tuyến tính nào cho phương trình của bạn ngoài các nghiệm thức thông thường (ví dụ: $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ cho bất kỳ biểu tượng mịn nào $a$) và toán tử cấp số nhân $D^u(f) = mf$, tức là, toán tử bậc nhất và bậc không.
Mặt khác, các dẫn xuất phân số $D^u$ có xu hướng tuân theo "quy tắc chuỗi phân số" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ cho các chức năng mượt mà khác nhau $F,f$, lỗi ở đâu $E$tuân theo các ước lượng tốt hơn trong các không gian Sobolev khác nhau so với hai số hạng còn lại trong phương trình này. Đặc biệt, đối với$F(t) = t^n$, chúng ta sẽ có $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ cho một thuật ngữ lỗi "tốt" $E$. Ví dụ, lấy$u=n=2$ với $D$ đạo hàm thông thường, chúng ta có $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ với $E$nhà điều hành " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Lưu ý rằng lỗi $E$ được kiểm soát thống nhất bởi $C^1$ định mức của $f$nhưng hai thuật ngữ khác trong (3) thì không. Xem câu trả lời MathOverflow trước đây của tôi tạihttps://mathoverflow.net/a/94039/766 cho một số tài liệu tham khảo và thảo luận thêm.
Có vẻ như bạn thực sự muốn $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, Ở đâu $\alpha$ là một vô hướng.
Không có lý do gì cho điều này là đúng, và điều này thực sự là sai nói chung. Ví dụ: cho$n=2$và đạo hàm phân số Riemann - Liouville của$f:=\exp$ với $u=1/2$, $a=0$, và $x>0$ chúng ta có $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ trong khi $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ vậy nên $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ hoàn toàn không giống bất kỳ hằng số nào.
Hơn nữa, thuật ngữ $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ trong biểu thức cho $(D^u(f^n))(x)$ ở đây so với thuật ngữ $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ trong biểu thức cho $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ dường như rất ít khả năng rằng bất kỳ loại đạo hàm phân số nào khác sẽ hoạt động như bạn muốn.
Công thức Leibniz tổng quát áp dụng cho đạo hàm tích phân phân số cổ điển là
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
Ở đâu $D_L$ hoạt động trên chức năng bên trái của sản phẩm và $D_R$đúng chức năng. Ví dụ, xem các quy tắc Leibniz và các phép tương tự tích phân cho các đạo hàm phân số thông qua một công thức biến đổi mới của Fugere, Gaboury và Tremblay.
Quy tắc Leibniz tổng quát này áp dụng cho tính tích phân phân số thỏa mãn các tiên đề hợp lý do Pincherle đưa ra được mô tả trong "Vai trò của Salvatore Pincherle trong sự phát triển của phép tính phân số" của Francesco Mainardi và Gianni Pagnini - những người được thỏa mãn bởi đạo hàm thông thường được nâng lên thành lũy thừa, tiêu cực hoặc tích cực. Các đại diện của op này được trình bày trong MSE-Q này và có thể được sử dụng để xác định hợp lưu (xem MO-Q này ) và các góc siêu bội thông thường.
Những đại diện của $D^{\omega}$là trọng tâm của các định nghĩa của hàm gamma và beta Euler thông qua tích phân, tổng quát của thừa số tích phân và hệ số nhị thức tích phân (xem phần trả lời của tôi cho / refs trong MO-Q này ), mà hầu hết các nhà nghiên cứu sử dụng thường xuyên trong các nỗ lực toán học của họ- -tùy theo một số ý kiến bày tỏ trên MO. Xem ví dụ về đạo hàm nửa trong MO-Q này (mà nhiều người dùng dường như nhầm lẫn với một số toán tử vi phân giả được xác định bởi phép biến đổi Fourier).