Nhận tổng của một dãy từ tổng các số hạng lẻ của nó.

Aug 16 2020

Tôi muốn tính tổng $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ bằng cách sử dụng chuỗi Fourier của $f(x)=|x|$ kết thúc $(-\pi,\pi)$. Hệ số$b_k$ là tất cả $0$ bởi vì $f$là thậm chí. Thực hiện các công cụ tích hợp, tôi nhận được:$$ a_0 = \pi $$$$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ cho $k>0$. Sự bình đẳng của Parseval cho:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ cái nào cho $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ đơn giản hóa thành $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ về cơ bản nói: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ bất kỳ ý tưởng làm thế nào để có được tổng từ đó?

Trả lời

1 AlessandroCigna Aug 16 2020 at 02:46

Quan sát rằng những gì bạn có là $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Kêu gọi$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ bạn có nó $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ và cuối cùng bạn có $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ từ đó $S=\frac {\pi^4}{90}$

1 Riemann'sPointyNose Aug 16 2020 at 02:51

Về cơ bản bạn có

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Bạn muốn tìm

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

nói cách khác, bạn muốn thêm vào

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Bao thanh toán ra một ${\frac{1}{2^4}}$ về sản lượng trên

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

Vì vậy, tổng thể, nếu bạn gọi ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ bạn có

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Bây giờ bạn có thể sắp xếp lại cho ${S}$?